Question

如图，在?ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，连接AG、BH、CE、DF相交于I、J、K、L，若?ABCD的面积为1，求四边形IJKL的面积．

Answer 1

考点：面积及等积变换

专题：

分析：延长BH、CD交于点N，易证△ABH≌△DNH，则有AB=DN，进而可得BE=

1

4

CN，易证△BIE∽△NIC，则有

EI

CI

=

BE

NC

=

1

4

．易证四边形AECG是平行四边形，则有AG∥EC，同理可得BH∥FD，从而有四边形IJKL是平行四边形．易证△CFJ∽△CBI，可得IJ=CJ=

1

2

CI，设EI=x，则IC=4x，IJ=2x，EC=5x，从而有

S?AECG

S?ABCD

=

AE

AB

=

1

2

，

S?IJKL

S?AECG

=

IJ

EC

=

2x

5x

=

2

5

，由S_?ABCD=1就可求出四边形IJKL的面积．

解答：解：延长BH、CD交于点N，如图．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∴∠ABH=∠DNH．
在△ABH和△DNH中，

∠ABH=∠DNH ∠AHB=∠DHN AH=DH

，
∴△ABH≌△DNH（AAS），
∴AB=DN，
∴AB=

1

2

CN．
∵点E是AB的中点，
∴BE=

1

2

AB，
∴BE=

1

4

CN．
∵AB∥CN，
∴△BIE∽△NIC，
∴

EI

CI

=

BE

NC

=

1

4

．
∵G是CD的中点，
∴CG=

1

2

CD，
∴AE=CG．
∵AE∥CG，
∴四边形AECG是平行四边形．
∴AG∥EC．
同理可得：BH∥FD，
∴四边形IJKL是平行四边形．
∵BH∥FD，
∴△CFJ∽△CBI，
∴

CJ

CI

=

CF

CB

=

1

2

，
∴IJ=CJ=

1

2

CI，
设EI=x，则IC=4x，IJ=2x，EC=5x．
∵

S?AECG

S?ABCD

=

AE

AB

=

1

2

，

S?IJKL

S?AECG

=

IJ

EC

=

2x

5x

=

2

5

，
∵S?ABCD=1，∴S?AECG=

1

2

，
∴S?IJKL=

2

5

×

1

2

=

1

5

．
∴四边形IJKL的面积为

1

5

．

点评：本题考查了面积及等级变换、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质等知识，证明四边形IJKL是平行四边形并求出

IJ

EC

是解决本题的关键．