Question

已知直线y=kx+m与抛物线y=-x²+bx+c（b＜0）相交于A，B两点，且点A在x轴的正半轴上，点B在y轴上，设点A横坐标为m，抛物线的顶点纵坐标为n．
（1）求k的值；
（2）当m＜2时，试比较n与b+m-k的大小．

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：

分析：（1）将点A（m，0）代入直线y=kx+m得：y=km+m=0，即可求出k=-1；
（2）将k=-1代入y=kx+m得到直线为y=-x+m，求出与y轴的交点B为（0，m），将点A和点B代入抛物线得出0＜m＜1，那么n=

1

4

b²+c=[

1

2

（m+1）]²，b-k+m=m-1-（-1）+m=2m，于是n-（b-k+m）=

1

4

（m+1）²-2m=

1

4

（m²+2m+1-8m）=

1

4

（m²-6m+1）=

1

4

[（m-3）²-8]，由0＜m＜1，解方程（m-3）²-8=0得：m=3-2

2

，进而求解．

解答：解：（1）点A（m，0），并且m＞0，
代入直线y=kx+m得：y=km+m=0，
解得：k=-1；

（2）直线为y=-x+m，
与y轴的交点B（0，m）．
抛物线y=-x²+bx+c开口向下，对称轴x=

b

2

＜0，
顶点为（

b

2

，

1

4

b²+c），
所以：n=

1

4

b²+c，
点A和点B代入抛物线得：
y（0）=-0+0+c=m＞0，
y（m）=-m²+bm+c=0，
解得：b=m-1＜0，c=m＞0，
所以：0＜m＜1，
所以：n=

1

4

b²+c=

1

4

（m-1）²+m=

1

4

（m+1）²=[

1

2

（m+1）]²，
所以：b-k+m=m-1-（-1）+m=2m，
所以：n-（b-k+m）=

1

4

（m+1）²-2m=

1

4

（m²+2m+1-8m）=

1

4

（m²-6m+1）=

1

4

[（m-3）²-8]，
因为：0＜m＜1，
解（m-3）²-8=0得：m=3-2

2

，
所以：0＜m＜3-2

2

时，n＞b-k+m；
m=3-2

2

时，n=b-k+m；
3-2

2

＜m＜1时，n＜b-k+m．

点评：本题考查了二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的性质，有一定难度．（2）中求出0＜m＜1是解题的关键．