Question

【题目】已知：点A、C分别是∠B的两条边上的点，点D、E分别是直线BA、BC上的点，直线AE、CD相交于点P．

（1）点D、E分别在线段BA、BC上；

①若∠B＝60°（如图1），且AD＝BE，BD＝CE，则∠APD的度数为　 　；

②若∠B＝90°（如图2），且AD＝BC，BD＝CE，求∠APD的度数；

（2）如图3，点D、E分别在线段AB、BC的延长线上，若∠B＝90°，AD＝BC，∠APD＝45°，求证：BD＝CE．

Answer 1

【答案】（1）①60°；②45°；（2）见解析

【解析】

（1）连结AC，由条件可以得出△ABC为等边三角形，再由证△CBD≌△ACE就可以得出∠BCD=∠CAE，就可以得出结论；

（2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，就可以得出△FAD≌△DBC，再证△DCF为等腰直角三角形，由∠FAD=∠B=90°，就可以得出AF∥BC，就可以得出四边形AECF是平行四边形，就有AE∥CF，就可以得出∠EAC=∠FCA，就可以得出结论；

（3）作AF⊥AB于A，使AF=BD，连结DF，CF，就可以得出△FAD≌△DBC，再证△DCF为等腰直角三角形，就有∠DCF=∠APD=45°，推出CF∥AE，由∠FAD=∠B=90°，就可以得出AF∥BC，就可以得出四边形AFCE是平行四边形，就有AF=CE．

（1）①如图1，连结AC，

∵AD＝BE，BD＝CE，

∴AD+BD＝BE+CE，

∴AB＝BC．

∵∠B＝60°，

∴△ABC为等边三角形．

∴∠B＝∠ACB＝60°，BC＝AC．

在△CBD和△ACE中

，

∴△CBD≌△ACE（SAS），

∴∠BCD＝∠CAE．

∵∠APD＝∠CAE+∠ACD，

∴∠APD＝∠BCD+∠ACD＝60°．

故答案为60°；

②如图2，作AF⊥AB于A，使AF＝BD，连结DF，CF，

∴∠FAD＝90°．

∵∠B＝90°，

∴∠FAD＝∠B．

在△FAD和△DBC中，

，

∴△FAD≌△DBC（SAS），

∴DF＝DC，∠ADF＝∠BCD．

∵∠BDC+∠BCD＝90°，

∴∠ADF+∠BDC＝90°，

∴∠FDC＝90°，

∴∠FCD＝45°．

∵∠FAD＝90°，∠B＝90，

∴∠FAD+∠B＝180°，

∴AF∥BC．

∵DB＝CE，

∴AF＝CE，

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AE∥CF，

∴∠EAC＝∠FCA．

∵∠APD＝∠ACP+∠EAC，

∴∠APD＝∠ACP+∠ACE＝45°；

（2）如图3，作AF⊥AB于A，使AF＝BD，连结DF，CF，

∴∠FAD＝90°．

∵∠ABC＝90°，

∴∠FAD＝∠DBC＝90°．

在△FAD和△DBC中，

，

∴△FAD≌△DBC（SAS），

∴DF＝DC，∠ADF＝∠BCD．

∵∠BDC+∠BCD＝90°，

∴∠ADF+∠BDC＝90°，

∴∠FDC＝90°，

∴∠FCD＝45°．

∵∠APD＝45°，

∴∠FCD＝∠APD，

∴CF∥AE．

∵∠FAD＝90°，∠ABC＝90，

∴∠FAD＝∠ABC，

∴AF∥BC．

∴四边形AECF是平行四边形，

∴AF＝CE，

∴CE＝BD．