Question

【题目】在平面直角坐标系中，A(t，0)，B(t+2，0).对于线段AB和点P给出如下定义：当∠APB＝90°时，称点P为线段AB的“直角点”.

(Ⅰ)当t＝﹣1时，点C(0，1)，判断点C是否为线段AB的“直角点”，并说明理由；

(Ⅱ)已知抛物线y＝ax2+bx(a＞0，b＜0)的顶点为M，与x轴交于A(t，0)，B(t+2，0)，若点M为线段AB的“直角点”，求出此抛物线的解析式.

Answer 1

【答案】(Ⅰ)C是线段AB的“直角点”，理由见解析；(Ⅱ)y＝x2﹣2x.

【解析】

(Ⅰ)t＝﹣1时，A(﹣1，0)，B(1，0)，点C(0，1)，即可求解；

(Ⅱ)抛物线y＝ax2+bx(a＞0，b＜0)与x轴交于A(t，0)，B(t+2，0)，则t＝0，即点A、B的坐标分别为：(0，0)，(2，0)，点M(1，﹣1)，即可求解.

(Ⅰ)是，理由：

t＝﹣1时，A(﹣1，0)，B(1，0)，点C(0，1)，

则AB＝2，AC＝，CB＝，

则AB2＝AC2+BC2，故C是线段AB的“直角点”；

(Ⅱ)抛物线y＝ax2+bx(a＞0，b＜0)与x轴交于A(t，0)，B(t+2，0)，则t＝0，

即点A、B的坐标分别为：(0，0)，(2，0)，点M(1，﹣1)，

AM＝，BM＝，AB＝2，故点M为线段AB的“直角点”，

则抛物线的表达式为：y＝a(x﹣0)(x﹣2)，

将点M坐标代入上式并解得：a＝1，

故抛物线的表达式为：y＝x2﹣2x.