[题目]如图.△ABC是一块锐角三角形余料.边BC=120 mm.高AD=80mm.要把它加工成矩形零件PQMN.使矩形PQMN的边QM在BC上.其余两个项点P.N分别在AB.AC上．(1)当矩形的边PN=PQ时.求此时矩形零件PQMN的面积,(2)求这个矩形零件PQMN面积S的最大值．题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】如图，△ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120 mm，高AD=80mm，要把它加工成矩形零件PQMN，使矩形PQMN的边QM在BC上，其余两个项点P，N分别在AB，AC上．

（1）当矩形的边PN=PQ时，求此时矩形零件PQMN的面积；

（2）求这个矩形零件PQMN面积S的最大值．

【答案】（1）矩形零件PQMN的面积为2304mm2;（2）这个矩形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2.

【解析】

（1）设PQ=xmm，则AE=AD-ED=80-x，再证明△APN∽△ABC，利用相似比可表示出,根据正方形的性质得到（80-x）=x,求出x的值，然后结合正方形的面积公式进行解答即可．
（2）由（1）可得，求此二次函数的最大值即可．

解：（1）设PQ=xmm，
易得四边形PQDE为矩形，则ED=PQ=x，
∴AE=AD-ED=80-x，
∵PN∥BC，
∴△APN∽△ABC，

，

即，

，

∵PN=PQ，

，

解得x=48．
故正方形零件PQMN面积S=48×48=2304（mm2）．

（2）

当时，S有最大值==2400（mm2）．

所以这个矩形零件PQMN面积S的最大值是2400mm2.

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