【题目】如图①,在中,,,点、分别是、的中点,连接.
(1)在图①中,的值为______;的值为______.
(2)若将绕点逆时针方向旋转得到,点、的对应点为、,在旋转过程中的大小是否发生变化?请仅就图②的情形给出证明.
(3)当在旋转一周的过程中,,,三点共线时,请你直接写出线段的长.
【答案】(1) ;;(2) 不发生变化,理由见解析;(3)或
【解析】
(1)根据直角三角形30°角的性质即可解决问题;
(2)只要证明,根据相似三角形的性质即可得的值即可;
(3)分当点在线段上时及当点在线段的延长线上时,两种情况画出图形分别解决即可.
(1)在图①中,连接,
∵,点分别是的中点,
∴,
∴,
∵,,
∴,
在中,,,
∵点是的中点,
∴,
∴;.
(2)解:不发生变化.
连接,
∵,点分别是的中点,
∴,
∴,
∵,,
∴,
在中,,,
∵点是的中点,
∴,.
∵点是的中点,
∴,
∵旋转,
∴,,,
∴;,,
∴,
∴,
∴.
(3)由旋转可知:在△CDE中,∠CDE=120°,DE=CD=1,由(1)可知
如图,作CF⊥AE,
∵∠CDE=120°
∴∠CDF=60°,
在Rt△CDF中: ,
在Rt△ADF中: ,
∴ ,
∴
如图,作CG⊥AE,
∵∠CDE=120°
∴∠CDG=60° ,
在Rt△CDF中: , ,
在Rt△ADF中: ,
∴ ,
∴
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【题目】如图(1),某数学活动小组经探究发现:在⊙O中,直径AB与弦CD相交于点P,此时PA· PB=PC·PD
(1)如图(2),若AB与CD相交于圆外一点P, 上面的结论是否成立?请说明理由.
(2)如图(3),将PD绕点P逆时针旋转至与⊙O相切于点C, 直接写出PA、PB、PC之间的数量关系.
(3)如图(3),直接利用(2)的结论,求当 PC= ,PA=1时,阴影部分的面积.
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【题目】如图,已知点A1、A2、A3、…、An在x轴上,且OA1=A1A2=A2A3=…=An﹣1An=1,分别过点A1、A2、A3、……、An作x轴的垂线,交反比例函数y=(x>0)的图象于点B1、B2、B3、…、Bn,过点B2作B2P1⊥A1B1于点P1,过点B3作B3P2⊥A2B2于点P2,…,若记△B1P1B2的面积为S1,△B2P2B3的面积为S2,…,△BnPnBn+1的面积为Sn,则S1+S2+…+S2019=_____.
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【题目】如图,已知在矩形 中,,,点 从点 出发,沿 方向以每秒 个单位的速度向点 运动,点 从点 出发,沿射线 以每秒 个单位的速度运动,当点 运动到点 时,, 两点停止运动.连接 ,过点 作 ,垂足为 ,连接 ,交 于点 ,交 于点 ,连接 .给出下列结论:
① ;
② ;
③ ;
④ 的值为定值 .
上述结论中正确的个数为 ( ) 个.
A.B.C.D.
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【题目】如图,已知将抛物线沿轴向上翻折与所得抛物线围成一个封闭区域(包括边界),在这个区域内有5个整点(点满足横、纵坐标都为整数,则把点叫做“整点”).现将抛物线沿轴向下翻折,所得抛物线与原抛物线所围成的封闭区域内(包括边界)恰有11个整点,则的取值范围是( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,已知在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC > BC,CD是Rt△ABC的高,E是AC的中点,ED的延长线与CB的延长线相交于点F.
(1)求证:DF是BF和CF的比例中项;
(2)在AB上取一点G,如果AE·AC=AG·AD,求证:EG·CF=ED·DF.
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【题目】如图,△ABC是一块锐角三角形余料,边BC=120 mm,高AD=80mm,要把它加工成矩形零件PQMN,使矩形PQMN的边QM在BC上,其余两个项点P,N分别在AB,AC上.
(1)当矩形的边PN=PQ时,求此时矩形零件PQMN的面积;
(2)求这个矩形零件PQMN面积S的最大值.
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【题目】如图,某小区门口的栏杆从水平位置AB绕固定点O旋转到位置DC,已知栏杆AB的长为3.5米,OA的长为3米,点C到AB的距离为0.3米,支柱OE的高为0.6米,那么栏杆端点D离地面的距离为____________米
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【题目】如图,P是边长为3的等边△ABC边AB上一动点,沿过点P的直线折叠∠B,使点B落在AC上,对应点为D,折痕交BC于E,点D是AC的一个三等分点,PB的长为______.
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