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【题目】如图(1),某数学活动小组经探究发现:在⊙O中,直径AB与弦CD相交于点P,此时PA· PB=PC·PD

1)如图(2),若ABCD相交于圆外一点P, 上面的结论是否成立?请说明理由.

2)如图(3,PD绕点P逆时针旋转至与⊙O相切于点C, 直接写出PAPBPC之间的数量关系.

3)如图(3),直接利用(2)的结论,求当 PC= ,PA=1,阴影部分的面积.

【答案】1)成立,理由见解析;(2;(3

【解析】

1)连接ADBC,得到∠D=B,可证△PAD∽△PCB,即可求解;

2)根据(1)中的结论即可求解;

3)连接OC,根据 ,PC= ,PA=1求出PB=3 , AO=CO=1PO=2 利用,得到AOC为等边三角形,再分别求出即可求解.

解:(1)成立

理由如下:如图,连接ADBC

∠D=∠B

∵∠P=∠P

∴△PAD∽△PCB

=

∴PA· PB=PC·PD

(2)PD与⊙O相切于点C时,

PC=PD

由(1)得PA· PB=PC·PD

(3)如图,连接OC

,PC= ,PA=1

PB=3 , AO=CO=1PO=2

PC ⊙O相切于点C

PCO为直角三角形

,

AOC为等边三角形

=

==

=

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