【题目】如图(1),某数学活动小组经探究发现:在⊙O中,直径AB与弦CD相交于点P,此时PA· PB=PC·PD
(1)如图(2),若AB与CD相交于圆外一点P, 上面的结论是否成立?请说明理由.
(2)如图(3),将PD绕点P逆时针旋转至与⊙O相切于点C, 直接写出PA、PB、PC之间的数量关系.
(3)如图(3),直接利用(2)的结论,求当 PC= ,PA=1时,阴影部分的面积.
【答案】(1)成立,理由见解析;(2);(3)
【解析】
(1)连接AD、BC,得到∠D=∠B,可证△PAD∽△PCB,即可求解;
(2)根据(1)中的结论即可求解;
(3)连接OC,根据 ,PC= ,PA=1求出PB=3 , AO=CO=1,PO=2 利用,得到AOC为等边三角形,再分别求出,即可求解.
解:(1)成立
理由如下:如图,连接AD、BC
则∠D=∠B
∵∠P=∠P
∴△PAD∽△PCB
∴=
∴PA· PB=PC·PD
(2)当PD与⊙O相切于点C时,
PC=PD,
由(1)得PA· PB=PC·PD
∴
(3)如图,连接OC
,PC= ,PA=1
PB=3 , AO=CO=1,PO=2
PC与 ⊙O相切于点C
PCO为直角三角形
,
AOC为等边三角形
=
==
=
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【题目】如图,一次函数y=x+m图象过点A(1,0),交y轴于点,为y轴负半轴上一点,且,过、两点的抛物线交直线于点,且CD//x轴.
(1)求这条抛物线的解析式;
(2)观察图象,写出使一次函数值小于二次函数值时的取值范围;
(3)在题中的抛物线上是否存在一点,使得为直角?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,直线AB和抛物线的交点是A(0,﹣3),B(5,9),已知抛物线的顶点D的横坐标是2.
(1)求抛物线的解析式及顶点坐标;
(2)在x轴上是否存在一点C,与A,B组成等腰三角形?若存在,求出点C的坐标,若不在,请说明理由;
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【题目】如图,AB是⊙O的直径,AM和BN是⊙O的两条切线,E为⊙O上一点,过点E作直线DC分别交AM,BN于点D,C,且CB=CE.
(1)求证:DA=DE;
(2)若AB=6,CD=4,求图中阴影部分的面积.
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【题目】如图,已知顶点为的抛物线与轴交于,两点,直线过顶点和点.
(1)求的值;
(2)求函数的解析式;
(3)抛物线上是否存在点,使得?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】我们知道:任何有理数的平方都是一个非负数,即对于任何有理数a,都有 成立,所以,当时,有最小值0.
(应用):(1)代数式有最小值时, ;
(2)代数式的最小值是 ;
(探究):求代数式的最小值,小明是这样做的:
∴当时,代数式有最小值,最小值为5.
(3)请你参照小明的方法,求代数式的最小值,并求此时a的值.
(拓展):(4)若,直接写出y的取值范围.
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【题目】综合与探究
如图,抛物线经过点A(-2,0),B(4,0)两点,与轴交于点C,点D是抛物线上一个动点,设点D的横坐标为.连接AC,BC,DB,DC,
(1)求抛物线的函数表达式;
(2)△BCD的面积等于△AOC的面积的时,求的值;
(3)在(2)的条件下,若点M是轴上的一个动点,点N是抛物线上一动点,试判断是否存在这样的点M,使得以点B,D,M,N为顶点的四边形是平行四边形,若存在,请直接写出点M的坐标;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图①,在中,,,点、分别是、的中点,连接.
(1)在图①中,的值为______;的值为______.
(2)若将绕点逆时针方向旋转得到,点、的对应点为、,在旋转过程中的大小是否发生变化?请仅就图②的情形给出证明.
(3)当在旋转一周的过程中,,,三点共线时,请你直接写出线段的长.
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