Question

【题目】如图，一次函数y=x+m图象过点A(1，0)，交y轴于点，为y轴负半轴上一点，且，过、两点的抛物线交直线于点，且CD//x轴．

（1）求这条抛物线的解析式；

（2）观察图象，写出使一次函数值小于二次函数值时的取值范围；

（3）在题中的抛物线上是否存在一点，使得为直角？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2+2x-3；（2）x<-2或x>1；（3）存在，M（-1，-4）.

【解析】

（1）把A点坐标代入y=x+m可求出m的值，可得一次函数解析式，即可得点B坐标，根据BC=2OB可求出C点坐标，根据CD//x轴可求出D点坐标，设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，利用待定系数法求出a、b、c的值即可得答案；（2）根据A、D两点坐标，找出一次函数图象在二次函数图象下方的x的取值范围即可；（3）过D作DM⊥AD，交抛物线于M，过M作MG⊥CD于G，设E（t，t2+2t-3），根据B、C、D三点坐标可得△BCD是等腰直角三角形，进而可证明△DMG是等腰直角三角形，用t表示出DG和MG的长，利用DG=MG列方程求出t的值即可得答案.

（1）∵点A（1，0）在一次函数y=x+m图象上，

∴1+m=0，

∴m=-1，

∴直线AB的解析式为：y=x-1，

当x=0时，y=-1，

∴点B坐标为：（0，-1），

∴OB=1，

∵为y轴负半轴上一点，且，

∴BC=2，OC=3，

∴点C坐标为：（0，-3），

∵CD//x轴，点D在直线AB上，

∴当y=-3时，x-1=-3，

解得x=-2，

∴点D坐标为：（-2，-3），

设这条抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

∵抛物线结果A、C、D三点，

∴，

解得：，

∴这条抛物线的解析式为：y=x2+2x-3.

（2）∵一次函数值小于二次函数值，

∴一次函数图象在二次函数图象下方，

∵一次函数与二次函数交于A（1，0）、D（-2，-3），

∴x<-2或x>1.

（3）如图，过D作DM⊥AD，交抛物线于M，过M作MG⊥CD于G，设M（t，t2+2t-3），

∵C（0，-3），D（-2，-3），

∴CD=2，

∴BC=CD=2，

∵CD//x轴，

∴∠BCD=90°，

∴△BCD是等腰直角三角形，

∴∠BDC=45°，

∵DM⊥AD，

∴∠ADM=90°，

∴∠CDM=90°-45°=45°，

∵MG⊥CD，

∴△DMG是等腰直角三角形，

∴DG=CG，

∵CD//x轴，C(0，-3)，

∴点G坐标为（t，-3），

∴DG=t+2，MG=-3-（t2+2t-3）=-t2-2t，

∴-t2-2t=t+2，

解得：t=-1或t=-2，

∵t=-2时，点M与点D重合，

∴t=-1，

∴t2+2t-3=-4，

∴点M坐标为（-1，-4），

∴存在一点M，使得为直角，点M的坐标为（-1，-4）.