Question

【题目】如图，在中，，为边上的中线,于点

（1）求证：BD·AD=DE·AC.

（2）若AB=13,BC=10,求线段DE的长.

（3）在（2）的条件下，求的值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）.

【解析】

（1）先利用等腰三角形的性质证明∠B=∠C，AD⊥BC，然后再证明△BDE∽△CAD即可；

（2）利用勾股定理求出AD，再根据（1）的结论即可求出DE；

（3）在Rt△BDE中，利用锐角三角函数求解即可.

解：（1）证明：∵AB=AC， AD为BC边上的中线，

∴∠B=∠C，AD⊥BC，即∠ADC=90°，

又∵DE⊥AB于点E，即∠DEB=90°，

∴∠ADC=∠DEB，

∴△BDE∽△CAD，

∴，

∴BD·AD=DE·AC；

（2）∵AD为BC边上的中线，BC=10，

∴BD=CD=5，

在Rt△ABD中，AB=13，BD=5，

∴AD= ，

由（1）得BD·AD=DE·AC，

又∵AC=AB= 13，

∴5×12=13·DE，

∴DE=；

（3）由（2）知，DE=，BD=5，

∴在Rt△BDE中，.