Question

1．如图，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，且A（1，0），C（0，3），抛物线的对称轴为x=-1．
（1）求抛物线的解析式；
（2）在该抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△MAC的周长最小？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）该抛物线在第二象限的图象上是否存在一点P，使四边形BOCP的面积最大？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据抛物线的对称轴是x=-1，则设抛物线的解析式是y=a（x+1）²+d，把A和C的坐标代入求得函数解析式；
（2）求得BC的解析式，BC与对称轴的交点就是M；
（3）求得与BC平行且与抛物线只有一个公共点的直线解析式，公共点就是P．

解答 解：（1）设抛物线的解析式是y=a（x+1）²+d，
则$\left\{\begin{array}{l}{4a+d=0}\\{a+d=3}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=-1}\\{d=4}\end{array}\right.$．
则抛物线的解析式是y=-（x+1）²+4，即y=-x²-2x+3；
（2）B的坐标是（-3，0）．
设直线BC的解析式是y=kx+e，则$\left\{\begin{array}{l}{e=3}\\{-3k+e=0}\end{array}\right.$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{e=3}\\{k=1}\end{array}\right.$，
则直线BC的解析式是y=x+3．
令x=-1，则y=2，
即M的坐标是（-1，2）；
（3）设与BC平行且与抛物线只有一个公共点的直线的解析式是y=x+f．
则-x²-2x+3=x+f，即x²+3x+（f-3）=0．
△=9-4（f-3）=0，解得：f=$\frac{21}{4}$．
此时x=-$\frac{3}{2}$．
把x=-$\frac{3}{2}$代入y=x+$\frac{21}{4}$中，y=-$\frac{3}{2}$+$\frac{21}{4}$=$\frac{15}{4}$．
则P的坐标是（-$\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

点评 本题考查了待定系数法求函数的解析式，正确确定M和P的位置是本题的关键．