Question

【题目】如图1，已知抛物线y=ax2﹣2ax﹣3与x轴交于A、B两点，其顶点为C，过点A的直线交抛物线于另一点D（2，﹣3），且tan∠BAD=1．

（1）求抛物线的解析式；

（2）连结CD，求证：AD⊥CD；

（3）如图2，P是线段AD上的动点，过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，求线段PE长度的最大值；

（4）点Q是抛物线上的动点，在x轴上是否存在点F，使以A，D，F，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）证明见解析；（3）；（4）存在；（﹣3，0）或（4+，0）或（4﹣，0）或（1，0）.

【解析】

（1）过点D作DM⊥x轴于M，根据点D的坐标求出DM、OM，再根据∠BAD的正切值求出AM，然后求出AO，从而得到点A的坐标，再代入抛物线表达式求出a，从而得解；

（2）根据抛物线解析式求出顶点C的坐标，再利用勾股定理列式求出AC、CD、AD，然后利用勾股定理逆定理证明即可；

（3）利用待定系数法求出直线AD的解析式，再表示出PE，然后根据二次函数的最值问题求解即可；

（4）设点F的坐标为（x，0），然后分①AD是平行四边形的边且FQ在x轴下方时，表示出点Q的坐标，然后代入抛物线解析式求解即可；FQ在x轴上方时，表示出点Q的坐标，再代入抛物线解析式求解；②AD是平行四边形对角线时，根据平行四边形对边平行可得DQ∥x轴，然后根据点D的纵坐标求出点Q的坐标，再根据AF=DQ求出点F的坐标即可．

（1）如图，过点D作DM⊥x轴于M，

∵D（2，﹣3），

∴DM=3，OM=2，

∵tan∠BAD=1，

∴AM=DM=3，

∴AO=AM﹣OM=3﹣2=1，

∴点A的坐标为（﹣1，0），

将点A的坐标代入抛物线得，a+2a﹣3=0，

解得a=1，

所以，y=x2﹣2x﹣3；

（2）证明：∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4，

∴顶点C（1，﹣4），

由勾股定理得，AD2=32+32=18，

CD2=（2﹣1）2+（﹣3+4）2=2，

AC2=（1+1）2+42=20，

∵AD2+CD2=AC2=20，

∴△ACD是直角三角形，且∠ADC=90°，

∴AD⊥CD；

（3）设直线AD的解析式为y=kx+b（k≠0），

将点A、D的坐标代入得，，

解得，

所以，直线AD的解析式为y=﹣x﹣1，

所以，PE=（﹣x﹣1）﹣（x2﹣2x﹣3）=﹣x2+x+2=﹣（x﹣）2+，

∵P是线段AD上的动点，

∴﹣1≤x≤2，

∴当x=时，线段PE长度的最大值是；

（4）设点F的坐标为（x，0），

①AD是平行四边形的边且FQ在x轴下方时，点Q的坐标为（x+3，﹣3），

代入抛物线得，（x+3）2﹣2（x+3）﹣3=﹣3，

解得x1=﹣3，x2=﹣1（舍去），

所以，F（﹣3，0）；

FQ在x轴上方时，点Q的坐标为（x﹣3，3），

代入抛物线得，（x﹣3）2﹣2（x﹣3）﹣3=3，

整理得，x2﹣8x+9=0，

解得，x=4±，

所以，F（4+，0）或（4﹣，0）；

②AD是平行四边形对角线时，∵A、F都在x轴上，

∴DQ∥x轴，

∴点Q的纵坐标为﹣3，

∴x2﹣2x﹣3=﹣3，

解得x1=2，x2=0，

∴DQ=2，

∴AF=2，

∵AO=1，

∴OF=2﹣1=1，

∴F（1，0），

综上所述，x轴上存在点F（﹣3，0）或（4+，0）或（4﹣，0）或（1，0），使以A，D，F，Q为顶点的四边形是平行四边形．