【题目】已知二次函数y=ax2-6ax+5a(a为常数)的图像为抛物线C.
(1)求证:不论a为何值,抛物线C与x轴总有两个不同的公共点;
(2)设抛物线C交x轴于点A、B,交y轴于点D,若△ABD的面积为20,求a的值;
(3)设点E(2,4)、F(3,4),若抛物线C与线段EF只有一个公共点,结合函数图像,直接写出a的取值范围.
【答案】(1)见解析;(2)a=±2;(3)-≤a≤-1.
【解析】
(1)△=(-6a)2-4a×5a=15a2>0,即可求解;
(2)△ABD的面积=AB×|yD|=×4×5|a|=20,即可求解;
(3)分a>0、a<0两种情况,通过画图找临界点即可求解.
(1)∵二次函数y=ax2-6ax+5a,
∴a≠0,
∴△=(-6a)2-4a×5a=15a2>0,
∴不论a为何值,抛物线C与x轴总有两个不同的公共点;
(2)解:∵ 当x=0时,y=5a.
∴ D(0,5a),
当y=0,时x=1或5,
∴A、B的坐标为(1,0),(5,0),
由(1)得,AB=5-1=4.
∵△ABD的面积为20,
∴×4×|5a|=20,
解得 a=±2.
(3)①当a>0时,如图1,EF与抛物线不可能有公共点;
②当a<0时,如图2,
临界点为点E、F,
当抛物线过点E时,即x=2,y=ax2-6ax+5a-3a=-3a=4,解得:a=-,
当抛物线过点F时,即x=3,y=ax2-6ax+5a-3a=-4a=4,解得:a=-1,
∴-≤a≤-1.
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【题目】如图,方格纸中每个小正方形的边长均为 1,线段 AB、DE 的端点 A、B、D、E 均在小正方形的顶点上.
(1)在图中画一个以 AB 为一腰的等腰△ABC, 且tan ABC ,点C 在小正方形的顶点上;
(2)在图中画一个以 DE 为边的平行四边形 DEFG,且G 45° ,点 F、G 均在小正方形的顶点上,连接 CG,请直接写出线段 CG 的长.
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【题目】如图,AB∥CD,以点A为圆心,小于AC长为半径作圆弧,分别交AB,AC于E,F两点,再分别以E,F为圆心,大于EF长为半径作圆弧,两条圆弧交于点P,连接AP,交CD于点M,若∠ACD=110°,则∠CMA的度数为( )
A.30°B.35°C.70°D.45°
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【题目】为了解某县2015年初中毕业生数学质量检测成绩等级的分布情况,随机抽取了该县若干名初中毕业生的数学质量检测成绩,按A,B,C,D四个等级进行统计分析,并绘制了如下尚不完整的统计图:
请根据以上统计图提供的信息,解答下列问题:
(1)本次抽取的学生有 名;补全条形统计图1;
(2)根据调查结果,请估计该县1430名初中毕业生数学质量检测成绩为A级的人数是
(3)某校A等级中有甲、乙、丙、丁4名学生成绩并列第一,现在要从这4位学生中抽取2名学生在校进行学习经验介绍,用列举法求出恰好选中甲乙两位学生的概率。
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【题目】如图,△ABC中,D、E分别是边AB、AC的中点,点F是BC上一点,∠B=∠DEF.
(1)求证:四边形BDEF是平行四边形;
(2)直接写出当△ABC满足什么条件时,四边形BDEF是菱形.
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【题目】某学校为了了解本校学生采用何种方式上网查找所需要的学习资源,随机抽取部分学生了解情况,并将统计结果绘制成频数分布表及频数分布直方图.
(1)频数分布表中的值:_____________,______________;
(2)补全频数分布直方图;
(3)若全校有1000名学生,估计该校利用搜索引擎上网查找学习资源的学生有多少名?
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【题目】(1)观察下列图形与等式的关系,并填空:
第一个图形:;
第二个图形:;
第一个等式:9+4=13;第二个等式:13+8=21;
第三个图形:;……;
第三个等式: + = ;……;
(2)根据以上图形与等式的关系,请你猜出第n个等式(用含有n的代数式表示),并证明.
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【题目】如图,正方形ABCD的边长是3,点P是直线BC上一点,连接PA,将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE,在直线BA上取点F,使BF=BP,且点F与点E在BC同侧,连接EF,CF.
(1)如图①,当点P在CB延长线上时,求证:四边形PCFE是平行四边形;
(2)如图②,当点P在线段BC上时,四边形PCFE是否还是平行四边形,说明理由;
(3)在(2)的条件下,四边形PCFE的面积是否有最大值?若有,请求出面积的最大值及此时BP长;若没有,请说明理由.
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【题目】如图,宾馆大厅的天花板上挂有一盏吊灯AB,某人从C点测得吊灯顶端A的仰角为,吊灯底端B的仰角为,从C点沿水平方向前进6米到达点D,测得吊灯底端B的仰角为.请根据以上数据求出吊灯AB的长度.(结果精确到0.1米.参考数据:sin35°≈0.57,cos35°≈0.82,tan35°≈0.70,≈1.41,≈1.73)
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