【题目】如图,正方形ABCD的边长是3,点P是直线BC上一点,连接PA,将线段PA绕点P逆时针旋转90°得到线段PE,在直线BA上取点F,使BF=BP,且点F与点E在BC同侧,连接EF,CF.
(1)如图①,当点P在CB延长线上时,求证:四边形PCFE是平行四边形;
(2)如图②,当点P在线段BC上时,四边形PCFE是否还是平行四边形,说明理由;
(3)在(2)的条件下,四边形PCFE的面积是否有最大值?若有,请求出面积的最大值及此时BP长;若没有,请说明理由.
【答案】(1)详见解析(2)详见解析(3)有,当BP=时,最大值为
【解析】
(1)由正方形的性质可以得出AB=BC,∠ABP=∠ABC=∠90°,可以得出△PBA≌△FBC,由其性质就可以得出结论.
(2)由正方形的性质可以得出AB=BC,∠FBC=∠ABC=∠90°,可以得出△PBA≌△FBC,由其性质就可以得出结论.
(3)设BP=x,则PC=3﹣x 平行四边形PEFC的面积为S,由平行四边形的面积公式就可以求出其解析式,再根据二次函数的性质就可以求出其最大值.
解:(1)∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠PBA=90°
∵在△PBA和△FBC中,AB=BC,∠PBA=∠FBC,BP=BF,
∴△PBA≌△FBC(SAS).∴PA=FC,∠PAB=∠FCB.
∵PA=PE,∴PE=FC.
∵∠PAB+∠APB=90°,∴∠FCB+∠APB=90°.
∵∠EPA=90°,∴∠APB+∠EPA+∠FPC=180°,即∠EPC+∠PCF=180°.
∴EP∥FC,∴四边形EPCF是平行四边形.
(2)结论:四边形EPCF是平行四边形,理由如下:
∵四边形ABCD是正方形,∴AB=BC,∠ABC=∠CBF=90°.
∵在△PBA和△FCB中,AB=BC,∠PBA=∠FBC,BP=BF,
∴△PBA≌△FBC(SAS).∴PA=FC,∠PAB=∠FCB.
∵PA=PE,∴PE=FC.
∵∠FCB+∠BFC=90°,∠EPB+∠APB=90°,∴∠BPE=∠FCB.
∴EP∥FC,∴四边形EPCF是平行四边形.
(3)有.
设BP=x,则PC=3﹣x ,平行四边形PEFC的面积为S,
.
∵a=﹣1<0,∴抛物线的开口向下,
∴当x=时,S最大=.
∴当BP=时,四边形PCFE的面积最大,最大值为.
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知二次函数L:y=mx2+2mx+k(其中m,k是常数,k为正整数).
(1)若L经过点(1,k+6),求m的值.
(2)当m=2,若L与x轴有公共点时且公共点的横坐标为非零的整数,确定k的值;
(3)在(2)的条件下将L:y=mx2+2mx+k的图象向下平移8个单位,得到函数图象M,求M的解析式;
(4)将M的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折,图象的其余部分保持不变,得到一个新的图象N,请结合新的图象解答问题,若直线y=x+b与N有两个公共点时,请直接写出b的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知二次函数y=ax2-6ax+5a(a为常数)的图像为抛物线C.
(1)求证:不论a为何值,抛物线C与x轴总有两个不同的公共点;
(2)设抛物线C交x轴于点A、B,交y轴于点D,若△ABD的面积为20,求a的值;
(3)设点E(2,4)、F(3,4),若抛物线C与线段EF只有一个公共点,结合函数图像,直接写出a的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】某水果店计划购进甲、乙两种高档水果共400千克,每千克的售价、成本与购进数量(千克)之间关系如表:
每千克售价(元) | 每千克成本(元) | |
甲 | ﹣0.1x+100 | 50 |
乙 | ﹣0.2x+120(0<x≤200) | 60 |
(200<x≤400) |
(1)若甲、乙两种水果全部售完,求水果店获得总利润y(元)与购进乙种水果x(千克)之间的函数关系式(其他成本不计);
(2)若购进两种水果都不少于100千克,当两种水果全部售完,水果能获得的最大利润.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,⊙O的直径AB垂直于弦CD,垂足为H,点P是弧AC上的一点(点P不与A,C重合),连结PC,PD,PA,AD,点E在AP的延长线上,PD与AB交于点F.给出下列四个结论:①CH2=AH·BH;②弧AD=弧AC;③AD2=DF·DP;④∠EPC=∠APD.
其中正确的个数有
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,是用图象反映储油罐内的油量V与输油管开启时间t的函数关系.观察这个图象,以下结论正确的有________________.
①随着输油管开启时间的增加,储油罐内的油量在减少;
②输油管开启10分钟时,储油罐内的油量是80立方米;
③如果储油罐内至少存油40立方米,那么输油管最多可以开启36分钟;
④输油管开启30分钟后,储油罐内的油量只有原油量的一半.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,抛物线与x轴交于点A和点B(点A在点B左侧),
(1)若抛物线的对称轴是直线x=1,求出点A和点B的坐标,并画出此时函数的图象;
(2)当已知点P(m,2),Q(-m,2m-1).若抛物线与线段PQ恰有一个公共点,结合函数图象,求m的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在平面直角坐标系中有一个3×3的正方形网格,其右下角格点(小正方形的顶点)A的坐标为(﹣1,1),左上角格点B的坐标为(﹣4,4),若分布在过定点(﹣1,0)的直线y=﹣k(x+1)两侧的格点数相同,则k的取值可以是( )
A.B.C.2D.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(本小题满分12分)
已知:把Rt△ABC和Rt△DEF按如图(1)摆放(点C与点E重合),点B、C(E)、F在同一条直线上.∠ACB = ∠EDF = 90°,∠DEF = 45°,AC = 8 cm,BC = 6 cm,EF = 9 cm.
如图(2),△DEF从图(1)的位置出发,以1 cm/s的速度沿CB向△ABC匀速移动,在△DEF移动的同时,点P从△ABC的顶点B出发,以2 cm/s的速度沿BA向点A匀速移动.当△DEF的顶点D移动到AC边上时,△DEF停止移动,点P也随之停止移动.DE与AC相交于点Q,连接PQ,设移动时间为t(s)(0<t<4.5).
解答下列问题:
(1)当t为何值时,点A在线段PQ的垂直平分线上?
(2)连接PE,设四边形APEC的面积为y(cm2),求y与t之间的函数关系式;是否存在某一时刻t,使面积y最小?若存在,求出y的最小值;若不存在,说明理由.
(3)是否存在某一时刻t,使P、Q、F三点在同一条直线上?若存在,求出此时t的值;若不存在,说明理由.
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com