Question

已知：过⊙O外的定点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O于A、B，在劣弧

AB

上任取一点C，经过点C作⊙O的切线，分别交PA，PB于点D、E．
求证：（1）△PDE的周长是定值（PA+PB）；
（2）∠DOE的大小是定值（

1

2

∠AOB）．

Answer 1

考点：切线长定理

专题：证明题

分析：（1）利用切线长定理得出△PDE的周长=PD+PE+DE=PD+DC+EC+PE=PA+PB，即可得出答案；
（2）利用切线长定理以及三角形内角和定理得出∠AOD=∠DOC，∠COE=∠BOE，进而求出即可．

解答：证明：（1）如图：
∵过⊙O外的定点P作⊙O的两条切线，分别切⊙O于A、B，在劣弧

AB

上任取一点C，经过点C作⊙O的切线，
∴DA=DC，EC=EB，
∴△PDE的周长=PD+PE+DE=PD+DC+EC+PE=PA+PB，
故△PDE的周长是定值（PA+PB）；

（2）连接AO，BO，CO，
∵PA，PB，DE为⊙O的切线，
∴∠OAD=∠DCO=∠OBE=90°，∠ADO=∠CDO，∠CEO=∠BEO，
∴∠AOD=∠DOC，∠COE=∠BOE，
∴∠DOE=

1

2

∠AOB，
即∠DOE的大小是定值（

1

2

∠AOB）．

点评：此题主要考查了切线长定理，熟练记忆切线长定理是解题关键．