Question

7．以半圆的一条弦BC（非直径）为对称轴将弧BC折叠后与直径AB交于点D，若tanB=$\frac{1}{2}$，且AD=4，则AB=10．

Answer 1

分析 作线段AB关于直线BC的对称线段BA′，交⊙O于D′，连接AC、CA′，设AC=a，BC=2a，则AB=$\sqrt{5}$a，由A′C•A′A=A′D′•A′B，列出方程解决．

解答 解：作线段AB关于直线BC的对称线段BA′，交⊙O于D′，连接AC、CA′．
∵AB是直径，
∴∠ACB=∠BCA′=90°，
∴A、C、A′共线，
根据对称性可知：AD=A′D=4，
∵tan∠ABC=$\frac{AC}{BC}$=$\frac{1}{2}$，设AC=a，BC=2a，则AB=$\sqrt{5}$a，
由A′C•A′A=A′D′•A′B，
∴a•2a=4$•\sqrt{5}$a，
∴a=2$\sqrt{5}$．
AB=$\sqrt{5}$$•2\sqrt{5}$=10．
故答案为10．

点评 本题考查翻折变换、相交弦定理，解题的关键是作线段AB关于直线BC的对称线段BA′，转化为相交弦定理解决问题．