Question

如图1，P（1，n）为反比例函数y=

m

x

（x＞0）图象上一点，过P点的直线y=kx+3k与x轴负半轴交于A点，与y轴正半轴交于点C，且S_△AOP=3．

（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）图2上作PB⊥x轴于B点，过P点的直线l分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于M、N两点，是否存在这样的直线l，使得△MON与△ABP全等？若存在，请求出直线l的解析式；若不存在，请说明理由；
（3）如图3，直线y=-x+2分别与x轴、y轴交于C、D两点，Q为反比例函数y=

m

x

（x＞0）图象上一动点，过Q点作QG⊥x轴于G点，QH⊥y轴于H点，与直线CD分别交于E、F两点，连接OE、OF，当Q点移动时，∠EOF的值是否变化？若改变，求出其变化范围；若不变，试求其度数．

Answer 1

考点：反比例函数综合题

专题：

分析：（1）首先求出A点坐标，进而求出OA的长，再根据已知三角形的面积求出n的值，P点坐标求出一次函数与反比例函数的解析式即可求出；
（2）根据P点坐标求出OB，PB及AB的长度，使得△MON与△ABP全等则有两种可能，①OM=PB=2，ON=AB=4，或②OM=AB=4，ON=PB=2，分别求出M和N点坐标，求出过其两点的直线解析式即可，最后进行验证直线解析式是否满足条件；
（3）作∠COI=∠POF，CI⊥PC，交OI于I，连接EI，首先证明△OPF≌△OCI，得OF=OI，PF=CI，设Q（a，b），则OG=a，OH=b，用a和b表示出E和F点的坐标，证明出EF=EI，再△OFE≌△OIE，即可判断出∠EOF=∠EOI=

1

2

×90°=45°．

解答：解：（1）由y=kx+3k知，A（-3，0），
∴OA=3，
∵S_△AOP=3，
∴

1

2

×3n=3，
解得n=2，
∴P（1，2），
把P（1，2）代入y=

m

y

，
得m=2，
∴反比例函数解析式为y=

2

x

，
把P（1，2）代入y=kx+3k，得k=

1

2

，
∴一次函数的解析式为y=

1

2

x+

3

2

；

（2）∵P（1，2），
∴OB=1，PB=2，
∴AB=4，
∵△MON与△ABP全等，
则①OM=PB=2，
ON=AB=4，
或②OM=AB=4，
ON=PB=2，
①条件，M（2，0），N（0，4），
于是可以得到直线MN解析式y=-2x+4，
将点P（1，2）代入解析式满足条件，
即点P在直线MN上；
②条件下，M′（4，0），N′（0，2），
于是可以得到直线M′N′解析式y=-

1

2

x+2，
将点P（1，2）代入解析式不满足条件，
即点P不在直线MN上；
综上①②所述，存在直线l：y=-2x+4使得△MON与△ABP全等；

（3）作∠COI=∠POF，CI⊥PC，交OI于I，连接EI，
∵∠OCI=90°-∠PCO=45°=∠OPF，且PO=OC，
∴△OPF≌△OCI，
∴OF=OI，PF=CI，
设Q（a，b），
则OG=a，OH=b，
∵点E、F在直线y=-x+2上，
∴E（a，-a+2），F（2-b，b），
∴EG=-a+2，HF=2-b，
∴CI=PF=

2

HF=

2

（2-b），
EC=

2

EG=

2

（2-a），
∴EI²=CI²+EC²=2（2-b）²+2（2-a）²，
∵FQ=a-（2-b），
∴EF=

2

FQ=

2

（a+b-2），
∴EF²=2（a+b-2）²，
∴EF=EI，
∴△OFE≌△OIE，
∴∠EOF=∠EOI=

1

2

×90°=45°．

点评：本题主要考查反比例函数的综合题，解答本题的关键是熟练掌握反比例函数的性质以及全等三角形的证明，特别是第三问，Q点是动点则要一结论为定值，有一定的难度．