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    如图，抛物线y=ax2+bx-
    5
    2
    过点A（-1，0）、B（5，0）．直线y=-x-1交抛物线的对称轴于点M，点P为线段AM上一点，过点P作PQ∥y轴交抛物线于点Q，过点P作PN∥QM交抛物线的对称轴于点N，设点P的横坐标为m．
    （1）求a、b的值．
    （2）用含m的代数式表示PQ的长并求PQ的最大值．
    （3）直接写出PQ随m的增大而减小时m的取值范围．
    （4）当四边形PQMN是正方形时，求出m的值．
    考点：二次函数综合题
    专题：
    分析：（1）把点A和B的坐标代入抛物线解析式，计算即可求出a、b的值；
    （2）根据已知条件可设P的坐标为（m，-m-1），（-1≤m≤2），因为PQ∥y轴，所以点Q横坐标为m，又因为Q在抛物线上，所以Q点的坐标为（m，
    1
    2
    m2-2m-
    5
    2
    ），所以
    PQ=-m-1-（
    1
    2
    m2-2m-
    5
    2
    ）=-
    1
    2
    m2+m+
    3
    2
    =-
    1
    2
    （m-1）2+2，利用函数的性质即可求出PQ的最大值；
    （3）根据线段PQ的表达式转化为顶点式解析式，利用二次函数的增减性解答即可；
    （4）设MN于x轴的 交点为G，则G的坐标为（2，0），首先证明四边形PQMN是平行四边形，当PN⊥MN，四边形PQMN是矩形，又因为∠BAM=45°，所以四边形PQMN是正方形，再求出Q的纵坐标为-3，即
    1
    2
    m2-2m-
    5
    2
    =-3，解方程即可求出符合题意的m值．
    解答：解：（1）把A（-1，0），B（5，0）代入y=ax2+bx-
    5
    2
    中，得
    0=(-1)2a+(-1)b-
    5
    2
    0=25a+5b-
    5
    2
    ，
    解得：
    a=
    1
    2
    b=-2
    ，
    ∴a=
    1
    2
    ，b=-2；

    （2）由（1）可知a=
    1
    2
    ，b=-2，
    ∴抛物线的解析式为y=
    1
    2
    x2-2x-
    5
    2
    ，
    ∴抛物线的对称轴为x=2，
    ∵点P的横坐标为m，
    ∴P的坐标为（m，-m-1），（-1≤m≤2），
    ∵PQ∥y轴，
    ∴点Q横坐标为m，
    ∴Q点的坐标为（m，
    1
    2
    m2-2m-
    5
    2
    ），
    ∴PQ=-m-1-（
    1
    2
    m2-2m-
    5
    2
    ）=-
    1
    2
    m2+m+
    3
    2
    =-
    1
    2
    （m-1）2+2，
    ∴当m=1时，PQ的最大值为2；

    （3）由（2）可知PQ=-m-1-（
    1
    2
    m2-2m-
    5
    2
    ）=-
    1
    2
    m2+m+
    3
    2
    =-
    1
    2
    （m-1）2+2，
    ∴PQ随m的增大而减小时m的取值范围是1≤m≤2；
    （4）设MN于x轴的 交点为G，则G的坐标为（2，0），
    ∵M（2，-3），
    ∴MG=3，AG=3，
    ∴MG=AG，
    ∴∠BAM=∠AMG=45°，
    ∵PQ∥y轴，MN是对称轴，
    ∴PQ∥MN，
    有∵PN∥QM，
    ∴四边形PQMN是平行四边形，
    当PN⊥MN，四边形PQMN是矩形，又∵∠BAM=45°，
    ∴四边形PQMN是正方形，
    ∴Q点的纵坐标是-3，即
    1
    2
    m2-2m-
    5
    2
    =-3，
    解得：m1=2-
    		3
    ，m2=2+
    		3
    （不合题意舍去），
    ∴m的值是2-
    		3
    ．
    点评：本题考查了二次函数的综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，平行四边形的对边平行且相等的性质，二次函数的最值问题，二次函数的增减性，综合性较强，但难度不大，把点C的坐标代入函数解析式求出b、c的值是解题的关键，也是本题的突破口．
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    ．

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    7
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    13
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    m
    x
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    3
    x
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    1
    x
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    ．

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    ．

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