Question

【题目】如图①所示，将两边AD与BC平行的纸条ABCD沿BD折叠，使点C落在C′处，AD与BC′相交于点E．

（1）求证：BE＝DE；

（2）如图②，分别过点B，D作BM⊥AD，DN⊥BC′，垂足分别为M，N．求证：△BMD≌△DNB；

（3）若BM＝4cm，DM＝8cm，求ME的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3

【解析】

（1）根据平行线的性质可得：∠EDB＝∠DBC，再根据折叠的性质可得：∠DBC＝∠EBD，从而得出：∠EBD＝∠EDB，由等角对等边可得：BE＝DE；

（2）利用AAS即可证明△BME≌△DNE，从而得出BM＝DN，再利用HL即可证出Rt△BMD≌Rt△DNB；

（3）由（1）中可知：BE＝DE＝DM﹣ME，再根据勾股定理列方程即可求出ME.

（1）证明：∵AD∥BC，

∴∠EDB＝∠DBC，

∵将两边AD与BC平行的纸条ABCD沿BD折叠，使点C落在C′处，

∴∠DBC＝∠EBD，

∴∠EBD＝∠EDB，

∴BE＝DE；

（2）证明：∵BM⊥AD，DN⊥BC′，

∴∠BME＝∠DNE＝90°，

在△BME与△DNE中，

，

∴△BME≌△DNE（AAS），

∴BM＝DN，

在Rt△BMD与Rt△DNB中

，

∴Rt△BMD≌Rt△DNB（HL）；

（3）解： ∵BM＝4cm，DM＝8cm，BE＝DE

∴BE＝DE＝DM﹣ME＝8﹣ME，

∴BM2+EM2＝BE2，

即42+ME2＝（8﹣ME）2，

∴ME＝3．