Question

【题目】如图，长方形ABCD中，AB＝6，AC＝3，将△ADC沿AC折叠，点D落在点D′处，CD′与AB交于点F．点P为线段AC（不含点A、C）上任意一点，PM⊥AB于点M，PN⊥CD′于点N，PM+PN＝_____．

Answer 1

【答案】3

【解析】

根据矩形的性质和翻折变换的性质得到AF＝CF，设AF＝x，根据勾股定理列出方程，解方程即可求出AF，再根据三角形的面积公式解答即可．

解：连接PF，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形

∴∠B＝90°，AB∥CD，

∴BC＝＝＝3，∠DCA＝∠BAC，

∵矩形沿AC折叠，点D落在点E处，

∴△ACD≌△ACE，

∴∠DCA＝∠ECA，

∴∠BAC＝∠ECA，

∴AF＝CF，

设AF＝CF＝x，则BF＝6﹣x，

在Rt△BCF中，根据勾股定理得：BC2+BF2＝CF2，

即32+（6﹣x）2＝x2，

解得：x＝，

∴AF＝

∴S△ACF＝AFBC＝××3＝，

∵×AF×PM+×CF×PN＝S△ACF＝，

∴××（PM+PN）＝，

∴PM+PN＝3；

故答案为：3．