Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=1，将△ABC绕点C逆时针旋转角α．（0°＜α＜90°）得到△A₁B₁C₁，连接BB₁．设CB₁交AB于D，A_lB₁分别交AB、AC于E、F．
（1）在图中不再添加其它任何线段的情况下，请你找出一对全等的三角形，并加以证明（△ABC与△A₁B₁C₁全等除外）；
（2）当△BB₁D是等腰三角形时，求α；
（3）当α=60°时，求BD的长．

Answer 1

解：（1）全等的三角形有：△CBD≌△CA₁F或△AEF≌△B₁ED或△ACD≌△B₁CF等；
以证△CBD≌△CA₁F为例：
证明：∵∠ACB₁+∠A₁CF=∠ACB₁+∠BCD=90°
∴∠A₁CF=∠BCD
∵A₁C=BC
∴∠A₁=∠CBD=45°
∴△CBD≌△CA₁F；

（2）在△CBB₁中
∵CB=CB₁
∴∠CBB₁=∠CB₁B=（180°-α）
又△ABC是等腰直角三角形
∴∠ABC=45°
①若B₁B=B₁D，则∠B₁DB=∠B₁BD
∵∠B₁DB=45°+α
∠B₁BD=∠CBB₁-45°=（180°-α）-45°=45°-
∴45°+α=45°-，
∴α=0°（舍去）；
②∵∠BB₁C=∠B₁BC＞∠B₁BD，∴BD＞B₁D，即BD≠B₁D；
③若BB₁=BD，则∠BDB₁=∠BB₁D，即45°+α=（180°-α），α=30°
由①②③可知，当△BB₁D为等腰三角形时，α=30°；

（3）作DG⊥BC于G，设CG=x．
在Rt△CDG中，∠DCG=α=60°，
∴DG=xtan60°=x
Rt△DGB中，∠DBG=45°，
∴BG=GD=x，
∵AC=BC=1，
∴x+x=1
∴x=，
∴DB=BG=x=×=．
分析：（1）依据全等三角形的判定，可找出全等的三角形有：△CBD≌△CA₁F或△AEF≌△B₁ED或△ACD≌△B₁CF等．由旋转的意义可证∠A₁CF=∠BCD，A₁C=BC，∠A₁=∠CBD=45°，所以△CBD≌△CA₁F．
（2）当△BBD是等腰三角形时，要分别讨论B₁B=B₁D、BB₁=BD、B₁D=DB三种情况，第一，三种情况不成立，只有第二种情况成立，求得α=30°．
（3）作DG⊥BC于G，在直角三角形CDG和直角三角形DGB中，由三角函数即可求得BD的长．
点评：本题考查了全等三角形的判定，综合应用直角三角形性质解直角三角形，进行逻辑推理能力和运算能力．