Question

3．如图1，△ABC是等边三角形，D是AC边上任意一点，连结DB，以点D为圆心，DB为半径画圆弧，交BC的延长线于E．

（1）求证：AD=CE；
（2）如图2，若F是BC边任意一点，连结DF，以点D为圆心，DF为半径画圆弧，交BC的延长线于E，请猜想AD、BF、CE之间的数量关系，并证明．

Answer 1

分析 （1）过F作DF∥BC交AB于F，由平行线的性质得到∠AFD=∠ABC，∠ADF=∠ACB，∠FDB=∠DBC，根据已知条件证得AD=DF，由邻补角的定义得到∠BFD=∠DCE=120°，推出△BDF≌△DCE，即可得到结论；
（2）过D 作DG∥AB交BC于G，得到△CDG是等边三角形，推出△DFG≌△DCE，得到FG=CE，等量代换得到结论．

解答 解：（1）过F作DF∥BC交AB于F，
∴∠AFD=∠ABC，∠ADF=∠ACB，∠FDB=∠DBC，
∵△ABC是等边三角形，
∴∠A=∠ABC=∠ACB=60°，
∴∠A=∠AFD=∠ADF=60°，
∴AD=DF，
∴∠BFD=∠DCE=120°，
∵BD=ED，
∴∠DBE=∠E，
在△DFB与△DEC中，$\left\{\begin{array}{l}{∠BFD=∠DCE}\\{∠FDB=∠E}\\{BD=DE}\end{array}\right.$，
∴△BDF≌△DCE，
∴DF=CE，
∴AD=CE；

（2）过D 作DG∥AB交BC于G，
∴△CDG是等边三角形，
∴CG=CD，
∵AC=BC，
∴BG=AD，
∴∠DCF=∠DCE=120°，
∵DF=DE，
∴∠DFG=∠E，
在△DFG与△DCE中，$\left\{\begin{array}{l}{∠DFG=∠E}\\{∠DGF=∠DCE}\\{DF=DE}\end{array}\right.$，
∴△DFG≌△DCE，
∴FG=CE，
∵BG=BF+FG，
∴AD=BF+CE．

点评 本题考查了等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．