Question

14．如图，已知函数y=x与反比例函数y=$\frac{m}{x}$（x＞0）的图象交于点A，将y=x的图象向下平移6个单位后与双曲线y=$\frac{m}{x}$交于点B，与x轴交于点C，若$\frac{OA}{CB}$=2，则m的值为（　　）

• A． 16
• B． 8
• C． 4
• D． 2

Answer 1

分析 根据一次函数图象的平移问题由y=x的图象向下平移6个单位得到直线BC的解析式为y=x-6，然后把y=0代入即可确定C点坐标；作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F点，易证得Rt△OAE∽△RtCBF，则$\frac{OA}{CB}$=$\frac{AE}{BF}$=2，若设A点坐标为（a，a），则CF=$\frac{1}{2}$a，BF=$\frac{1}{2}$a，得到B点坐标为（6+$\frac{1}{2}$a，$\frac{1}{2}$a），然后根据反比例函数上点的坐标特征得a•a=（6+$\frac{1}{2}$a）•$\frac{1}{2}$a，解得a=4，于是可确定点A的坐标为（4，4），再利用待定系数法确定反比例函数的解析式．

解答 解：∵y=x的图象向下平移6个单位后与与双曲线y=$\frac{m}{x}$交于点B，与x轴交于点C，
∴直线BC的解析式为y=x-6，
把y=0代入得x-6=0，解得x=6，
∴C点坐标为（6，0）；
作AE⊥x轴于E点，BF⊥x轴于F点，如图，
∵OA∥BC，
∴∠AOC=∠BCF，
∴Rt△OAE∽Rt△CBF，
∴$\frac{OA}{BC}$=$\frac{AE}{BF}$=$\frac{OE}{CF}$=2，
设A点坐标为（a，a），则OE=a，AE=a，
∴CF=$\frac{1}{2}$a，BF=$\frac{1}{2}$a，
∴OF=OC+CF=6+$\frac{1}{2}$a，
∴B点坐标为（6+$\frac{1}{2}$a，$\frac{1}{2}$a），
∵点A与点B都在y=$\frac{m}{x}$的图象上，
∴a•a=（6+$\frac{1}{2}$a）•$\frac{1}{2}$a，解得a=4，
∴点A的坐标为（4，4），
把A（4，4）代入y=$\frac{m}{x}$得k=4×4=16，
故选A．

点评 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了相似三角形的判定与性质以及一次函数图象的平移问题．