Question

5．如图，∠AOB=60°，∠POQ=30°，OQ=2，OP=3，点M、N分别在OA、OB上，则PN+MN+QM的最小值为$\sqrt{13}$．

Answer 1

分析 作点P关于直线OB的对称点P′，作点Q关于直线OA的对称点Q′，连接P′Q′分别交OA，OB于点M、N，则点M，N即为所求，然后由轴对称的性质得：OQ′=OQ=2，OP=OP′=3，∠Q′OM=∠QOM，∠P′ON=∠PON，求得∠Q′OP′=90°，根据勾股定理即可得到结论．

解答 解：作点P关于直线OB的对称点P′，作点Q关于直线OA的对称点Q′，连接P′Q′分别交OA，OB于点M、N，
则线段P′Q′的长度就是PN+MN+QM的最小值，
由轴对称的性质得：OQ′=OQ=2，OP=OP′=3，
∠Q′OM=∠QOM，∠P′ON=∠PON，
∵∠AOB=60°，∠POQ=30°，
∴∠MOQ+∠P′ON=30°，
∴∠Q′OM+∠P′ON=30°，
∴∠Q′OP′=90°，
∴Q′P′=$\sqrt{OQ{′}^{2}+OP{′}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴PN+MN+QM的最小值为$\sqrt{13}$．
故答案为：$\sqrt{13}$．

点评 本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知“两点之间线段最短”是解答此题的关键．