Question

9．如图，在直角坐标系中，第一次将△OAB变换成△O₁A₁B₁，第二次将△O₁A₁B₁变换成△O₂A₂B₂，第三次将△O₂A₂B₂变换成△O₃A₃B₃．已知A（1，4），A₁（2，4），A₂（4，4），A₃（8，4），B（2，0），B₁（4，0），B₂（8，0），B₃（16，0）．
（1）观察每次变换后的三角形有何变化，找出规律，按此规律再将△O₃A₃B₃变换成△O₄A₄B₄，则点A₄的坐标是（16，4），B₄的坐标是（32，0）．
（2）若按第一题找到的规律将△OAB进行了n次变换，得到△O_nA_nB_n，比较每次变换中三角形顶点坐标有何变化，找出规律，推测A_n的坐标是（2ⁿ，4），B_n的坐标是（2ⁿ⁺¹，0）．

Answer 1

分析 （1）根据题目中的信息可以发现A₁、A₂、A₃各点坐标的关系为横坐标是2ⁿ，纵坐标都是4，故可求得A₄的坐标；B₁、B₂、B₃各点的坐标的关系为横坐标是2ⁿ⁺¹，纵坐标都为0，从而可求得点B₄的坐标．
（2）根据（1）中发现的规律可以求得A_n、B_n点的坐标．

解答 解：（1）∵A₁（2，4），A₂（4，4），A₃（8，4），
∴A₄的横坐标为：2⁴=16，纵坐标为：4，
∴点A₄的坐标为：（16，4）．
又∵B₁（4，0），B₂（8，0），B₃（16，0），
∴B₄的横坐标为：2⁵=32，纵坐标为：0，
∴点B₄的坐标为：（32，0）．
故答案为（16，4），（32，0）；

（2）由A₁（2，4），A₂（4，4），A₃（8，4），可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2ⁿ，纵坐标都是4．
故A_n的坐标为：（2ⁿ，4）．
由B₁（4，0），B₂（8，0），B₃（16，0），可以发现它们各点坐标的关系为横坐标是2ⁿ⁺¹，纵坐标都是0．
故B_n的坐标为：（2ⁿ⁺¹，0）．
故答案为（2ⁿ，4），（2ⁿ⁺¹，0）．

点评 本题考查了规律型：点的坐标，关键是通过题目中的信息发现相应的规律，从而解答问题．