Question

【题目】如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD交于点O，点E，F分别在AB，BD上，且△ADE≌△FDE，DE交AC于点G，连接GF．得到下列四个结论：①∠ADG＝22.5°；②S△AGD＝S△OGD；③BE＝2OG；④四边形AEFG是菱形，其中正确的结论是_____．（填写所有正确结论的序号）

Answer 1

【答案】①③④

【解析】

由正方形的性质及△ADE≌△FDE，可判断①；

证明△ADG≌△FDG（SAS），可判断②；

通过全等三角形的性质及等腰三角形的判定可证得EF＝GF＝EA＝GA，从而判定四边形AEFG是菱形，故④可判断；

由△OGF为等腰直角三角形及△BFE为等腰直角三角形，可判断③．

解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠GAD＝∠ADO＝45°，

∴由△ADE≌△FDE，

可得：∠ADG＝∠ADO＝22.5°，

故①正确；

∵△ADE≌△FDE，

∴AD＝FD，∠ADG＝∠FDG，

又∵GD＝GD，

∴△ADG≌△FDG（SAS），

∴S△AGD＞S△OGD，

故②错误；

∵△ADE≌△FDE，

∴EA＝EF，

∵△ADG≌△FDG，

∴GA＝GF，∠AGD＝∠FGD，

∴∠AGE＝∠FGE．

∵∠EFD＝∠AOF＝90°，

∴EF∥AC，

∴∠FEG＝∠AGE，

∴∠FGE＝∠FEG，

∴EF＝GF，

∴EF＝GF＝EA＝GA，

∴四边形AEFG是菱形，故④正确；

∵四边形AEFG是菱形，

∴AE∥FG，

∴∠OGF＝∠OAB＝45°，

∴△OGF为等腰直角三角形，

∴FG＝OG，

∴EF＝OG，

∵△BFE为等腰直角三角形，

∴BE＝EF＝OG＝2OG，

∴③正确．

综上，正确的有①③④．

故答案为：①③④．