将两块大小一样含30°角的直角三角板,叠放在一起,使得它们的斜边
AB重合,直角边不重合,已知AB=8,BC=AD=4,AC与BD相交于点E,连结CD.
(1)填空:如图9,AC= ,BD= ;四边形ABCD是 梯形.
(2)请写出图9中所有的相似三角形(不含全等三角形).
(3)如图10,若以AB所在直线为轴,过点A垂直于AB的直线为轴建立如图10的平面直角坐标系,保持ΔABD不动,将ΔABC向轴的正方向平移到ΔFGH的位置,FH与BD相交于点P,设AF=t,ΔFBP面积为S,求S与t之间的函数关系式,并写出t的取值值范围.
解:(1),,…………………………1分
等腰;…………………………2分
(2)共有9对相似三角形.(写对3-5对得1分,写对6-8对得2分,写对9对得3分)
①△DCE、△ABE与△ACD或△BDC两两相似,分别是:△DCE∽△ABE,△DCE∽△ACD,△DCE∽△BDC,△ABE∽△ACD,△ABE∽△BDC;(有5对)
②△ABD∽△EAD,△ABD∽△EBC;(有2对)
③△BAC∽△EAD,△BAC∽△EBC;(有2对)
所以,一共有9对相似三角形.…………………………………………5分
(3)由题意知,FP∥AE,
∴ ∠1=∠PFB,
又∵ ∠1=∠2=30°,
∴ ∠PFB=∠2=30°,
∴ FP=BP.…………………………6分
过点P作PK⊥FB于点K,则.
∵ AF=t,AB=8,
∴ FB=8-t,.
在Rt△BPK中,. ……………………7分
∴ △FBP的面积,
∴ S与t之间的函数关系式为:
,或. …………………………………8分
t的取值范围为:. …………………………………………………………9分
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