Question

【题目】在平面直角坐标系中，O为原点，点B在x轴的正半轴上，D（0，8），将矩形OBCD折叠，使得顶点B落在CD边上的P点处.

（1）若图1中的点 P 恰好是CD边的中点，求∠AOB的度数.

（2）如图1，已知折痕与边BC交于点A，若OD=2CP，求点A的坐标.

（3）如图2，在（2）的条件下，擦去折痕AO，线段AP，连接BP，动点M在线段OP上（点M与P，O不重合），动点N在线段OB的延长线上，且BN=PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E，试问当点M，N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？

若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度.

Answer 1

【答案】（1）30°；（2）A（10，5）； （3）2．

【解析】

（1）根据点P恰好是CD边的中点设DP=PC=y，则DC=OB=OP=2y，在Rt△ODP中，根据OD2+DP2=OP2，解得：y= ，然后利用△ODP∽△PCA得到AC=，从而利用tan∠AOB=得到∠AOB=30°；

（2）设OB=OP=DC=x，则DP=x-4，在Rt△ODP中，根据OD2+DP2=OP2，解得：x=10，然后根据△ODP∽△PCA得到AC==3，从而得到AB=5，表示出点A（10，5）；

（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，求出MP=MQ，BN=QM，得出MP=MQ，根据ME⊥PQ，得出EQ=PQ，根据∠QMF=∠BNF，证出△MFQ≌△NFB，得出QF=QB，再求出EF=PB，由（1）中的结论求出PB，最后代入EF=PB即可得出线段EF的长度不变．

（1）∵点P恰好是CD边的中点，
设DP=PC=y，
则DC=OB=OP=2y，
在Rt△ODP中，OD2+DP2=OP2，
即：82+y2=（2y）2，
解得：y=，
∵∠OPA=∠B=90°，
∴△ODP∽△PCA，
∴OD：PC=DP：CA，
∴8：y=y：AC，
则AC=，
∴AB=8-，
∵OB=2y=，
∴tan∠AOB= ，

∴∠AOB=30°

（2）∵D（0，8），

∴OD=BC=8，

∵OD=2CP，

∴CP=4，

设OB=OP=DC=x，则DP=x﹣4，

在Rt△ODP中，OD2+DP2=OP2，

即：8/span>2+（x﹣4）2=x2，解得：x=10，

∵∠OPA=∠B=90°，

∴△ODP∽△PCA，

∴OD：PC=DP：CA，

∴8：4=（x﹣4）：AC，

则AC==3，∴AB=5，

∴点A（10，5）；

（3）作MQ∥AN，交PB于点Q，如图，

∵AP=AB，MQ∥AN

∴∠APB=∠ABP=∠MQP．

∴MP=MQ，

∵BN=PM，

∴BN=QM．

∵MP=MQ，ME⊥PQ，

∴EQ=PQ．

∵MQ∥AN，

∴∠QMF=∠BNF，

∴△MFQ≌△NFB（AAS）．

∴QF=QB，

∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB，

由（2）中的结论可得：PC=4，BC=8，∠C=90°，

∴PB= ，

∴EF=PB=2，

∴在（2）的条件下，当点M、N在移动过程中，线段EF的长度不变，它的长度为2．