Question

【题目】如图1，一次函数y=﹣x+b与反比例函数（k≠0）的图象交于点A（1，3），B（m，1），与x轴交于点D，直线OA与反比例函数（k≠0）的图象的另一支交于点C，过点B作直线l垂直于x轴，点E是点D关于直线l的对称点．

（1）k= ；

（2）判断点B、E、C是否在同一条直线上，并说明理由；

（3）如图2，已知点F在x轴正半轴上，OF=，点P是反比例函数（k≠0）的图象位于第一象限部分上的点（点P在点A的上方），∠ABP=∠EBF，则点P的坐标为（ ， ）．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）在同一直线上；（3）， ．

【解析】试题分析：（1）把A点坐标代入中可求出k的值；

（2）先利用反比例函数的中心对称性得到C（﹣1，﹣3），再把B（m，1）代入求出m得到B（3，1），通过确定直线AB的解析式得到D（4，0），接着利用对称性确定E（2，0），于是利用待定系数法看球出直线BC的解析式为y=x﹣2，然后判断点E是否直线BC上；

（3）直线AB交y轴于M，直线BP交y轴于N，如图2，先确定M（0，4），计算出BM=，BE=，EF=，再证明△BMN∽△BEF，通过相似比计算出MN=，从而得到N（0， ），则利用待定系数法得到直线BN的解析式为，然后通过解方程组得P点坐标．

试题解析：解：（1）∵A（1，3）在反比例函数的图象上，∴k=1×3=3；

（2）点B、E、C在同一条直线上．理由如下：

∵直线OA与反比例函数（k≠0）的图象的另一支交于点C，∴点A与点C关于原点对称，∴C（﹣1，﹣3），∵B（m，1）在反比例函数的图象上，∴1×m=3，解得m=3，即B（3，1），把A（1，3）代入y=﹣x+b得﹣1+b=3，解得b=4，∴直线AB的解析式为y=﹣x+4，当y=0时，﹣x+4=0，解得x=4，则D（4，0），∵点E与点D关于直线x=3对称，∴E（2，0），设直线BC的解析式为y=px+q，把B（3，1），C（﹣1，﹣3）代入得： ，解得： ，∴直线BC的解析式为y=x﹣2，当x=2时，y=x﹣2=0，∴点E在直线BC上，即点B、E、C在同一条直线上；

（3）直线AB交y轴于M，直线BP交y轴于N，如图2，当x=0时，y=﹣x+4=4，则M（0，4），而B（3，1），E（2，0），F（，0），∴BM==，BE==，EF=2﹣=，∵OM=OD=4，∴△OMD为等腰直角三角形，∴∠OMD=∠ODM=45°，∵点E与点D关于直线x=3对称，∴∠BED=∠BDE=45°，∴∠BMN=∠BEF=135°，∵∠ABP=∠EBF，∴△BMN∽△BEF，∴，即，解得MN=，∴N（0， ），设直线BN的解析式为y=ax+n，把B（3，1），N（0， ）代入得： ，解得： ，∴直线BN的解析式为，解方程组，得： 或，∴P点坐标为（， ）．

故答案为：3， ， ．