Question

【题目】阅读下列材料，解决问题：

学习了勾股定理后我们知道：直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方．根据勾股定理我们定义：如图①，点M、N是线段AB上两点，如果线段AM、MN、NB能构成直角三角形，则称点M、N是线段AB的勾股点

解决问题

（1）在图①中，如果AM＝2，MN＝3，则NB＝　 　．

（2）如图②，已知点C是线段AB上一定点（AC＜BC），在线段AB上求作一点D，使得C、D是线段AB的勾股点．李玉同学是这样做的：过点C作直线GH⊥AB，在GH上截取CE＝AC，连接BE，作BE的垂直平分线交AB于点D，则C、D是线段AB的勾股点你认为李玉同学的做法对吗？请说明理由

（3）如图③，DE是△ABC的中位线，M、N是AB边的勾股点（AM＜MN＜NB），连接CM、CN分别交DE于点G、H求证：G、H是线段DE的勾股点．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）对，理由见解析；（3）见解析

【解析】

（1）分两种情形分别求解即可解决问题．

（2）想办法证明DB2＝AC2+CD2即可．

（3）利用三角形的中位线定理以及勾股定理证明EH2＝GH2+DG2即可．

解：（1）当BN是斜边时，BN＝＝．

当MN是斜边时，BN＝＝，

故答案为或．

（2）如图②中，连接DE．

∵点D在线段BE的垂直平分线上，

∴DE＝DB，

∵GH⊥BC，

∴∠ECD＝90°，

∴DE2＝EC2+CD2，

∵AC＝CE，DE＝DB，

∴DB2＝AC2+CD2，

∴C、D是线段AB的勾股点．

（3）如图3中，

∵CD＝DA，CE＝EB，

∴DE∥AB，

∴CG＝GM，CH＝HN，

∴DG＝AM，GH＝MN，EH＝BN，

∵BN2＝MN2+AM2，

∴BN2＝MN2+AM2，

∴（BN）2＝（MN）2+（AM）2，

∴EH2＝GH2+DG2，

∴G、H是线段DE的勾股点．