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【题目】已知,点不在同一条直线上,

1)如图①,当时,求的度数;

2)如图②,分别为的平分线所在直线,试探究的数量关系;

3)如图③,在(2)的前提下且,直接写的值

【答案】1120°;(22AQB+C=180°;(3)∠DAC=60°,∠ACB=120°,∠CBE=120°.

【解析】

1)过点CCFAD,则CFBE,根据平行线的性质可得出∠ACF=A、∠BCF=180°-B,将其代入∠ACB=ACF+BCF即可求出∠ACB的度数;

2)过点QQMAD,则QMBE,根据平行线的性质、角平分线的定义可得出∠AQB=(CBE-CAD),结合(1)的结论可得出2AQB+C=180°

3)由(2)的结论可得出∠CAD=CBE①,由QPPB可得出∠CAD+CBE=180°②,联立①②可求出∠CAD、∠CBE的度数,再结合(1)的结论可得出∠ACB的度数.

解:(1)在图①中,过点CCFAD,则CFBE

CFADBE

∴∠ACF=A,∠BCF=180°-B

∴∠ACB=ACF+BCF=180°-(∠B-A=180°-(118°-58°)=120°

2)在图2中,过点QQMAD,则QMBE

QMADQMBE

∴∠AQM=NAD,∠BQM=EBQ

AQ平分∠CADBQ平分∠CBE

∴∠NAD=CAD,∠EBQ=CBE

∴∠AQB=BQM-AQM=(CBE-CAD)

∵∠C=180°-(CBE-CAD)=180°-2AQB

2AQB+C=180°

3)∵ACQB

∴∠AQB=CAP=CAD,∠ACP=PBQ=CBE

∴∠ACB=180°-ACP=180°-CBE

2AQB+ACB=180°

∴∠CAD=CBE

又∵QPPB

∴∠CAP+ACP=90°,即∠CAD+CBE=180°

∴∠CAD=60°,∠CBE=120°

∴∠ACB=180°-(∠CBE-CAD=120°

故∠DAC=60°,∠ACB=120°,∠CBE=120°.

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