【题目】已知,点不在同一条直线上,
(1)如图①,当时,求的度数;
(2)如图②,分别为的平分线所在直线,试探究与的数量关系;
(3)如图③,在(2)的前提下且,,直接写的值
【答案】(1)120°;(2)2∠AQB+∠C=180°;(3)∠DAC=60°,∠ACB=120°,∠CBE=120°.
【解析】
(1)过点C作CF∥AD,则CF∥BE,根据平行线的性质可得出∠ACF=∠A、∠BCF=180°-∠B,将其代入∠ACB=∠ACF+∠BCF即可求出∠ACB的度数;
(2)过点Q作QM∥AD,则QM∥BE,根据平行线的性质、角平分线的定义可得出∠AQB=(∠CBE-∠CAD),结合(1)的结论可得出2∠AQB+∠C=180°;
(3)由(2)的结论可得出∠CAD=∠CBE①,由QP⊥PB可得出∠CAD+∠CBE=180°②,联立①②可求出∠CAD、∠CBE的度数,再结合(1)的结论可得出∠ACB的度数.
解:(1)在图①中,过点C作CF∥AD,则CF∥BE.
∵CF∥AD∥BE,
∴∠ACF=∠A,∠BCF=180°-∠B,
∴∠ACB=∠ACF+∠BCF=180°-(∠B-∠A)=180°-(118°-58°)=120°.
(2)在图2中,过点Q作QM∥AD,则QM∥BE.
∵QM∥AD,QM∥BE,
∴∠AQM=∠NAD,∠BQM=∠EBQ.
∵AQ平分∠CAD,BQ平分∠CBE,
∴∠NAD=∠CAD,∠EBQ=∠CBE,
∴∠AQB=∠BQM-∠AQM=(∠CBE-∠CAD).
∵∠C=180°-(∠CBE-∠CAD)=180°-2∠AQB,
∴2∠AQB+∠C=180°.
(3)∵AC∥QB,
∴∠AQB=∠CAP=∠CAD,∠ACP=∠PBQ=∠CBE,
∴∠ACB=180°-∠ACP=180°-∠CBE.
∵2∠AQB+∠ACB=180°,
∴∠CAD=∠CBE.
又∵QP⊥PB,
∴∠CAP+∠ACP=90°,即∠CAD+∠CBE=180°,
∴∠CAD=60°,∠CBE=120°,
∴∠ACB=180°-(∠CBE-∠CAD)=120°,
故∠DAC=60°,∠ACB=120°,∠CBE=120°.
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【题目】如图,四边形ABCD中,对角线AC、BD交于点O,AB=AC,点E是BD上一点,且AE=AD,∠EAD=∠BAC.
⑴ 求证:∠ABD=∠ACD;
⑵ 若∠ACB=65°,求∠BDC的度数.
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【题目】如图,在△ABC中,∠C=90°,AD平分∠BAC,DE⊥AB于E,则下列结论.①AD平分∠CDE;②∠BAC=∠BDE;③DE平分∠ADB;④BE+AC=AB,其中正确的是____________
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【题目】如图:在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=6,过点C的直线MN∥AB,D为AB上一点,过点D作DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足为F,连结CD,BE,
(1)当点D是AB的中点时,四边形BECD是什么特殊四边形?说明你的理由
(2)在(1)的条件下,当∠A= 时四边形BECD是正方形.
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【题目】在等边△ABC中,点D在BC边上,点E在AC的延长线上,DE=DA(如图1).
(1)求证:∠BAD=∠EDC;
(2)点E关于直线BC的对称点为M,连接DM,AM.
①依题意将图2补全;
②小姚通过观察、实验提出猜想:在点D运动的过程中,始终有DA=AM,小姚把这个猜想与同学们进行交流,通过讨论,形成了证明该猜想的几种想法:
想法1:要证明DA=AM,只需证△ADM是等边三角形;
想法2:连接CM,只需证明△ABD≌△ACM即可.
请你参考上面的想法,帮助小姚证明DA=AM(一种方法即可).
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【题目】如图,在菱形ABCD中,对角线AC与BD交于点O.过点C作BD的平行线,过点D作AC的平行线,两直线相交于点E.
(1)求证:四边形OCED是矩形;
(2)若CE=1,DE=2,ABCD的面积是 .
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【题目】“龟兔赛跑”的故事同学们都非常熟悉,图中的线段OD 和折线 OABC 表示“龟兔赛跑”时的路程与时间关系,请你根据图中给出的信息,解决下列问题:
(1)折线 OABC 表示赛跑过程中_______的路程与时间的关系, 线段 OD 表示赛跑过程中_______的路程与时间的关系, 赛跑的全程是________米.
(2)兔子在起初每分钟跑多少米,乌龟用多少分钟追上了正在睡觉的兔子.
(3)兔子醒来,以 48 千米/小时的速度跑向终点,结果还是比乌龟晚到 0.5 分钟,请你算算兔子中间停下睡觉用了多少分钟?
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【题目】省道S226在我县境内某路段实行限速,机动车辆行驶速度不得超过60km/h,如图,一辆小汽车在这段路上直道行驶,某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方36m的C处,过了3s后,测得小汽车与车速检测仪间距离为60m,这辆小汽车超速了吗?
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