Question

3．已知，如图：在△ABC中，∠ACB=90°，AB的垂直平分线DE，交∠ACB的平分线于点E，交AB于点D．
求证：CD=ED．

Answer 1

分析 过E作EM⊥AC于M，EN⊥BC于N，连接AE、BE，根据垂直平分线的性质和角平分线的性质得出AE=BE，EM=EN，∠AME=∠N=90°，证Rt△AME≌Rt△BNE，推出∠AEM=∠BEN，求出∠AEB=90°，根据直角三角形性质得出ED=$\frac{1}{2}$AB，CD=$\frac{1}{2}$AB，即可得出答案．

解答 证明：过E作EM⊥AC于M，EN⊥BC于N，连接AE、BE，
∵DE为AB的垂直平分线，CE是∠ACB的角平分线，
∴AE=BE，EM=EN，∠AME=∠N=90°，
在Rt△AME和Rt△BNE中
$\left\{\begin{array}{l}{AE=BE}\\{EM=EN}\end{array}\right.$
∴Rt△AME≌Rt△BNE（HL），
∴∠AEM=∠BEN，
∵∠ACB=90°，EM⊥AC，EN⊥BC，
∴∠CME=∠ACB=∠N=90°，
∴∠MEN=360°-3×90°=90°，
∴∠AEB=∠AEM+∠BEM=∠BEN+∠BEM=∠MEN=90°，
∵DE垂直平分AB，
∴ED=$\frac{1}{2}$AB，
同理CD=$\frac{1}{2}$AB，
∴CD=ED．

点评 本题考查了线段垂直平分线性质，角平分线性质，全等三角形的性质和判定的应用，能综合运用性质进行推理是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等．