Question

14．如图，AB是⊙0的直径，⊙0经过△ABC的边BC的中点D，DE⊥AC，垂足为E．
（1）求证：DE是⊙0的切线；
（2）若AE=1，AB=4，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）连接OD．根据三角形的中位线定理，得OD∥AC，结合DE⊥AC，即可证明OD⊥DE，从而证明DE是⊙O的切线．
（2）根据直径所对的圆周角是直角，得AD⊥BC，结合BD=CD即可证明AB=AC=4，求得CE=3，然后根据射影定理求得DE²，再根据勾股定理即可求得AD．

解答 （1）证明：连接OD．
∵OA=OB，BD=CD，
∴OD∥AC．
又DE⊥AC，
∴OD⊥DE，
∴DE是⊙O的切线．
（2）解：∵AB是⊙O的直径，
∴AD⊥BC，
又BD=CD，
∴AB=AC=4，
∵AE=1，
∴CE=4-1=3，
在RT△ADC中，DE⊥AC，
∴DE²=AE•CE=1×3=3，
∴AD=$\sqrt{D{E}^{2}+A{E}^{2}}$=2．

点评 考查了切线的判定，此题综合运用了圆周角定理、线段垂直平分线定理、三角形的中位线定理、勾股定理、平行线的性质以及切线的判定定理．