Question

如图，△ABC中，AB=AC，AD、CD分别是△ABC两个外角的平分线．
（1）求证：AB=AD；
（2）若∠B=60°，求证：四边形ABCD是菱形．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线的性质和等腰三角形的性质得出∠FAD=∠B，进而得到AD∥BC，再利用∠D=∠ACD，证明AC=AD，再由AB=AC可得AB=AD；
（2）首先证明△ABC和△ADC是等边三角形，进而得到AD=CB=AB=CD，可判定四边形ABCD是菱形．

解答：（1）证明：∵AB=AC，
∴∠B=∠ACB，
∵AD平分∠FAC，
∴∠FAD=

1

2

∠FAC，
∵∠B+∠ACB=∠FAC，
∴∠FAD=∠B，
∴AD∥CB，
∴∠D=∠DCE，
∵CD平分∠ACE，
∴∠ACD=∠∠DCE，
∴∠D=∠ACD，
∴AC=AD，
∵AB=AC，
∴AB=AD；

（2）解：∵∠B=60°，AB=AC，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=BC=AC，∠ACB=60°，
∵AD∥CB，
∴∠DAC=∠ACB=60°，
∵AD=AC，
∴△ADC是等边三角形，
∴AD=DC=AC，
∴AD=CB=AB=CD，
∴四边形ABCD是菱形．

点评：此题主要考查了菱形的判定，以及等腰三角形的判定，关键是掌握等角对等边．