Question

6．某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计）这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在5～50之间，每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm²）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，（即出厂价=基础价+浮动价）其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长x成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据，已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得利润是26元．（利润=出厂价-成本价）

薄板的边长（cm）	20	30
出厂价（元/张）	50	70

（1）求一张薄板的出厂价y与边长x之间满足的函数关系式；
（2）求一张薄板的利润p与边长x之间的函数关系式；
（3）若一张薄板的利润是34元，且成本最低，此时薄板的边长为多少？当薄板的边长为多少时，所获利润最大，求出这个最大值．

Answer 1

分析 （1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案；
（2）首先假设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx²元，由题意，得：W=y-mx²，进而得出m的值，求出函数解析式即可；
（3）利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可．

解答 解：（1）设一张薄板的边长为x cm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，
则y=kx+n
由表格中数据得$\left\{\begin{array}{l}0=3k+n\\ 4=k+n\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}k=-2\\ n=6\end{array}\right.$∴，
y=2x+10；

（2）设它的成本价为mx²元，由题意，得：
p=y-mx²=2x+10-mx²，
将x=40，p=26代入p=2x+10-mx²中，
得26=2×40+10-m×40²．
解得：m=$\frac{1}{25}$．
所以p=-$\frac{1}{25}$x²+2x+10．

（3）当P=34时，-$\frac{1}{25}$x²+2x+10=34，
解得：x₁=20，x₂=30（舍去），
所以一张薄板的利润是34元，且成本最低时薄板的边长为20cm；
∵p=-$\frac{1}{25}$x²+2x+10=-$\frac{1}{25}$（x-25）²+35，
∴当薄板的边长为25cm时，所获利润最大，最大值35元．

点评 本题考查了二次函数的最值求法以及待定系数法求一次函数解析式，求二次函数的最大（小）值有三种方法，第一种可由图象直接得出，第二种是配方法，第三种是公式法，常用的是后两种方法．