Question

2．如图，直线y=-x+b与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象的一支交于C（1，4），E两点，CA⊥y轴于点A，EB⊥x轴于点B，则以下结论：①k的值为4；②△BED是等腰直角三角形；③S_△ACD=S_△BED；④S_△CBD=15；⑤点D的坐标为（5，0）．其中正确的是（　　）

• A． ①②③
• B． ①②③④
• C． ②③④⑤
• D． ①②⑤

Answer 1

分析 ①只需把点C的坐标代入两个函数的解析式，就可得到k和b的值；②易证OD=OF，从而可得∠ODF=45°，即可证到△BED是等腰直角三角形；③只需求出点E的坐标，就可求出△ACD和△BED的面积；④只需根据点C、B、D的坐标就可求出△CBD的面积；⑤把y_D=0代入直线的解析式，就可解决问题．

解答 解：①∵直线y=-x+b与反比例函数y=$\frac{k}{x}$（k≠0）的图象的一支交于C（1，4），
∴4=-1+b，k=xy=1×4=4，故①正确；
②∵点D、F分别是直线y=-x+5与x轴、y轴的交点，
∴点D的坐标为（5，0），点F的坐标为（0，5），
∴OD=OF=5．
∵∠DOF=90°，
∴∠ODF=45°．
∵EB⊥x轴，
∴△BED是等腰直角三角形，故②正确；
③解方程组$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+5}\\{y=\frac{4}{x}}\end{array}\right.$，得
$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{y=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=4}\\{y=1}\end{array}\right.$，
∴E的坐标为（4，1），
∵AC=1，OA=4，OD=5，OB=4，
∴BD=1，
∴S_△ACD=$\frac{1}{2}$AC•OA=$\frac{1}{2}$×1×4=2，S_△BED=$\frac{1}{2}$BD•BE=$\frac{1}{2}$×1×1=$\frac{1}{2}$，
故③错误；
④S_△CBD=$\frac{1}{2}$BD•OA=$\frac{1}{2}$×1×4=2，故④错误；
⑤∵点D是直线y=-x+5与x轴的交点，
∴点D的坐标为（5，0），故⑤正确．
故选D．

点评 本题主要考查了一次函数与反比例函数的交点、直线上点的坐标特征、等腰直角三角形的判定与性质、三角形的面积公式等知识，求出点D、E、F的坐标是解决本题的关键．