Question

12．已知，如图，在三角形ABC中，CD是中线，过点A作平行线BC的平行线，交CD的延长线于点E，连接EB．
（1）求证：四边形AEBC是平行四边形；
（2）延长AC到点F，使CF=AC，连接BF，当三角形ABF满足条件∠ABF=90°时，四边形AEBC是菱形？请证明．

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质得出∠AED=∠BCD，由AAS证明△ADE≌△BCD，得出对应边相等AE=BC，即可得出四边形AEBC是平行四边形；
（2）由直角三角形斜边上的中线性质得出BC=$\frac{1}{2}$AF=AC，即可得出结论．

解答 （1）证明：∵在三角形ABC中，CD是中线，
∴AD=BD，
∵AE∥BC，
∴∠AED=∠BCD，
在△ADE和△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠AED=∠BCD}&{\;}\\{∠ADE=∠BDC}&{\;}\\{AD=BD}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ADE≌△BCD（AAS），
∴AE=BC，
又∵AE∥BC，
∴四边形AEBC是平行四边形；
（2）解：△ABF满足∠ABF=90°时，四边形AEBC是菱形；理由如下：
∵∠ABF=90°，CF=AC，
∴BC=$\frac{1}{2}$AF=AC，
∴平行四边形时AEBC是菱形．
故答案为：∠ABF=90°．

点评 本题考查了菱形的判定、平行四边形的判定、平行线的性质、全等三角形的判定与性质；熟练掌握菱形的判定，证明三角形全等是解决问题的关键．