Question

3．如图，AF是△ABC的高，角平分线BD、CE交于点H，点G在BC上，CG=CD，下列结论：①∠BHC=90°+∠BAC；②HG平分∠BHC；③若HG∥AF，则△ABC为等腰三角形，其中正确的结论有（　　）个．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 ①正确，可以根据∠BHC=180°-$\frac{1}{2}$∠ABC-$\frac{1}{2}$∠ACB=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC）解决．
②错误．如果成立，推出∠BAC=60°，显然不可能由此对称结论．
③正确，可以先证明BD⊥AC，再证明△BDA≌△BDC即可．

解答 解：∵BD，CE分别平分∠ABC，∠ACB，
∴∠HBC=$\frac{1}{2}∠$ABC，∠HCG=$\frac{1}{2}∠$ACB，
∵∠BHC=180°-∠HBC-∠HCB，
∴∠BHC=180°-$\frac{1}{2}$∠ABC-$\frac{1}{2}$∠ACB=180°-$\frac{1}{2}$（180°-∠BAC），
∴∠BHC=90°+∠BAC；故①正确；
在△CHG和△CHD中，
$\left\{\begin{array}{l}{CH=CH}\\{∠HCD=∠HCG}\\{CD=CG}\end{array}\right.$，
∴△CHD≌△CHG，
∴∠CHD=∠CHG，
若HG平分∠BHC，则∠BHG=∠CHG=∠CHD=60°，∠BHC=120°，
由①可知∠BAC=60°，显然题目没有这个条件，故②错误．
∵HG∥AF，AF⊥BC，
∴∠HGC=∠AFC=90°，
∵△HCD≌△HCG，
∴∠HDC=∠HGC=90°，
∴BD⊥AC，
在△BDA和△BDC中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠ABD=∠CBD}\\{BD=BD}\\{∠BDA=∠BDC}\end{array}\right.$，
∴△BDA≌△BDC，
∴BA=BC，
∴△ABC是等腰三角形，故③正确．
故选C．

点评 本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是寻找全等三角形，利用全等三角形的性质解决问题．