Question

如图，在平面直角坐标系中，已知OA=12厘米，OB=6厘米．点P从点O开始沿OA边向点A以1厘米/秒的速度移动；点Q从点B开始沿BO边向点O以1厘米/秒的速度移动．如果P、Q同时出发，用t（秒）表示移动的时间（0≤t≤6），那么
（1）设△POQ的面积为y，求y关于t的函数解析式；
（2）当△POQ的面积最大时，将△POQ沿直线PQ翻折后得到△PCQ，试判断点C是否落在直线AB上，并说明理由；
（3）当t为何值时，△POQ与△AOB相似．

Answer 1

解：（1）∵OA=12，OB=6，由题意，得BQ=1×t=t，OP=1×t=t．
∴OQ=6﹣t．
∴y=×OP×OQ=×t（6﹣t）=﹣t²+3t（0≤t≤6）；
（2）∵y=﹣t²+3t，∴当y有最大值时，t=3，
∴OQ=3，OP=3，即△POQ是等腰直角三角形．
把△POQ沿直线PQ翻折后，可得四边形OPCQ是正方形．
∴点C的坐标为（3，3）．
∵A（12，0），B（0，6），
∴直线AB的解析式为y=﹣x+6
当x=3时，y=≠3，
∴点C不落在直线AB上；
（3）△POQ∽△AOB时，
①若，即，12﹣2t=t，∴t=4．
②若，即，6﹣t=2t，∴t=2．