【题目】如图,在矩形ABCD中,E为AB边上一点,EC平分∠DEB,F为CE的中点,连接AF,BF,过点E作EH∥BC分别交AF,CD于G,H两点.
(1)求证:DE=DC;
(2)求证:AF⊥BF;
(3)当AFGF=28时,请直接写出CE的长.
【答案】
(1)解:∵四边形ABCD是矩形,
∴AB∥CD,
∴∠DCE=∠CEB,
∵EC平分∠DEB,
∴∠DEC=∠CEB,
∴∠DCE=∠DEC,
∴DE=DC;
(2)解:如图,连接DF,
∵DE=DC,F为CE的中点,
∴DF⊥EC,
∴∠DFC=90°,
在矩形ABCD中,AB=DC,∠ABC=90°,
∴BF=CF=EF= EC,
∴∠ABF=∠CEB,
∵∠DCE=∠CEB,
∴∠ABF=∠DCF,
在△ABF和△DCF中,
,
∴△ABF≌△DCF(SAS),
∴∠AFB=∠DFC=90°,
∴AF⊥BF
(3)解:CE=4 .
理由如下:∵AF⊥BF,
∴∠BAF+∠ABF=90°,
∵EH∥BC,∠ABC=90°,
∴∠BEH=90°,
∴∠FEH+∠CEB=90°,
∵∠ABF=∠CEB,
∴∠BAF=∠FEH,
∵∠EFG=∠AFE,
∴△EFG∽△AFE,
∴ = ,即EF2=AFGF,
∵AFGF=28,
∴EF=2 ,
∴CE=2EF=4
【解析】(1)根据平行线的性质以及角平分线的定义,即可得到∠DCE=∠DEC,进而得出DE=DC;(2)连接DF,根据等腰三角形的性质得出∠DFC=90°,再根据直角三角形斜边上中线的性质得出BF=CF=EF= EC,再根据SAS判定△ABF≌△DCF,即可得出∠AFB=∠DFC=90°,据此可得AF⊥BF;(3)根据等角的余角相等可得∠BAF=∠FEH,再根据公共角∠EFG=∠AFE,即可判定△EFG∽△AFE,进而得出EF2=AFGF=28,求得EF=2 ,即可得到CE=2EF=4 .
【考点精析】通过灵活运用矩形的性质和相似三角形的判定与性质,掌握矩形的四个角都是直角,矩形的对角线相等;相似三角形的一切对应线段(对应高、对应中线、对应角平分线、外接圆半径、内切圆半径等)的比等于相似比;相似三角形周长的比等于相似比;相似三角形面积的比等于相似比的平方即可以解答此题.
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【题目】如图,在正方形ABCD中,点E、G分别是边AD、BC的中点,AF= AB.
(1)求证:EF⊥AG;
(2)若点F、G分别在射线AB、BC上同时向右、向上运动,点G运动速度是点F运动速度的2倍,EF⊥AG是否成立(只写结果,不需说明理由)?
(3)正方形ABCD的边长为4,P是正方形ABCD内一点,当S△PAB=S△OAB , 求△PAB周长的最小值.
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【题目】一件工程甲独做50天可完,乙独做75天可完,现在两个人合作,但是中途乙因事离开几天,从开工后40天把这件工程做完,则乙中途离开了( )天.
A. 10 B. 20 C. 30 D. 25
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【题目】某校“阳光足球俱乐部”计划购进一批甲、乙两种型号的足球,乙型足球每个进价比甲型足球每个进价多10元,若购进甲型足球3个和乙型足球5个,共需要资金370元.
(1)求甲、乙两种型号的足球进价各是多少元?
(2)该商店计划购进这两种型号的足球共50个,而可用于购买这两种型号的足球资金不少于2250元,但又不超过2270元.该商店有几种进货方案?
(3)已知商店出售一个甲种足球可获利6元,出售一个乙种足球可获利10元,试问在(2)的条件下,商店采用哪种方案可获利最多?
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【题目】在中,,点为内一点.
(1)如图1,连接,将沿射线方向平移,得到,点的对应点分别为点,连接.如果,,则 .
(2)如图2,连接,当时,求的最小值.
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【题目】某中学新建了一栋7层的教学大楼,每层楼有8间教室,进出这栋大楼共有八道门,其中四道正门大小相同,四道侧门大小也相同.安全检查中,对八道门进行了测试:当同时开启一道正门和两道侧门时,2分内可以通过560名学生;当同时开启一道正门和一道侧门时,4分内可以通过800名学生.
(1)平均每分内一道正门和一道侧门分别可以通过多少名学生?
(2)检查中发现,紧急情况时因学生拥挤,出门的效率将降低30%.安全检查规定:在紧急情况下全大楼的学生应在5分内通过这八道门安全撤离,假设这栋教学大楼每间教室最多有45名学生,问建造的这八道门是否符合安全规定?请说明理由.
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【题目】阅读材料I:
教材中我们学习了:若关于的一元二次方程的两根为,根据这一性质,我们可以求出己知方程关于的代数式的值.
问题解决:
(1)已知为方程的两根,则: __ _,__ _,那么_ (请你完成以上的填空)
阅读材料:II
已知,且.求的值.
解:由可知
又且,即
是方程的两根.
问题解决:
(2)若且则 ;
(3)已知且.求的值.
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【题目】已知如图,在平面直角坐标系xOy中,点A、B、C分别为坐标轴上上的三个点,且OA=1,OB=3,OC=4,
(1)求经过A、B、C三点的抛物线的解析式;
(2)在平面直角坐标系xOy中是否存在一点P,使得以以点A、B、C、P为顶点的四边形为菱形?若存在,请求出点P的坐标;若不存在,请说明理由;
(3)若点M为该抛物线上一动点,在(2)的条件下,请求出当|PM﹣AM|的最大值时点M的坐标,并直接写出|PM﹣AM|的最大值.
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