Question

20．已知△ABC中，∠ACB=90°，∠A=60°，AC=6，点D为AC边上的一个动点，DE⊥AB，垂足为点E．
（1）如图1，当BD恰好平分∠ABC时，求AD的长；
（2）如图2，若点F为BD的中点，联结EF，EC，FC，判断△EFC的形状并加以证明；
（3）当△EFC的面积取得最小值时，求AD的长．

Answer 1

分析 （1）先根据角平分线的性质，得出DC=DE，设AD=x，再根据Rt△ADE，由勾股定理可得关于x的方程，求得x的值即可；
（2）根据有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形即可判断即可；
（3）根据垂线段最短，可得当点D与点C重合时，BD最短，此时CF最短，即等边三角形EFC的面积最小，据此判断即可．

解答 解：（1）如图1，当BD平分∠ABC时，
∵∠ACB=90°，DE⊥AB，
∴DC=DE，
设AD=x，则CD=ED=6-x，
∵∠A=60°，
∴∠ADE=30°，
∴AE=$\frac{1}{2}$AD=$\frac{1}{2}$x，
在Rt△ADE中，由勾股定理可得（$\frac{1}{2}$x）²+（6-x）²=x²，
解得x₁=24-12$\sqrt{3}$，x₂=24+12$\sqrt{3}$（舍去）
∴AD的长为24-12$\sqrt{3}$；

（2）如图2，∵点F是BD的中点，∠DEB=∠DCB=90°，
∴EF=$\frac{1}{2}$BD=CF=BF，
∴∠EBF=∠BEF，∠FBC=∠FCB，
∴∠EFC=∠EFD+∠CFD=2∠EBF+2∠CBF=2∠ABC=60°，
∴△EFC是等边三角形；

（3）∵点D是线段AC上的动点，AC⊥BC，
∴根据垂线段最短，可得
当点D与点C重合时，BD最短，
此时CF也最短，即等边三角形EFC的面积最小，
此时，AD=AC=6．

点评 本题属于三角形综合题，主要考查了角平分线的性质、勾股定理的应用、等边三角形的判定以及垂线段最短的综合应用，解决问题的关键是根据直角三角形中的勾股定理列出方程进行求解．解题时注意方程思想的运用．