Question

2．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1，AC在直线l上．将△ABC绕点A顺时针旋转到位置①，可得到点P₁，此时AP₁=2；将位置①的三角形绕点P₁顺时针旋转到位置②，可得到点P₂，此时AP₂=2+$\sqrt{3}$；将位置②的三角形绕点P₂顺时针旋转到位置③，可得到点P3，此时AP₃=3+$\sqrt{3}$；…，按此规律继续旋转，直到得到点P₂₀₁₄为止，则P₁P₂₀₁₄=（　　）

• A． 2012+671$\sqrt{3}$
• B． 2013+671$\sqrt{3}$
• C． 2014+671$\sqrt{3}$
• D． 2015+671$\sqrt{3}$

Answer 1

分析 如图，从整个运动过程分析，可以判断该旋转变换在做以3为周期的周期运动，此为解题的关键性结论；
由${P}_{1}{P}_{2}=\sqrt{3}$，${P}_{1}{P}_{5}=\sqrt{3}+（3+\sqrt{3}）$，${P}_{1}{P}_{8}=\sqrt{3}+2（3+\sqrt{3}）$…可以发现线段P₁P_n（n为大于1的自然数）的长存在等差关系，运用此规律即可解决问题．

解答 解：如图，∵∠ACB=90°，∠B=30°，AC=1
∴AB=2，BC=$\sqrt{3}$；由题意得：该旋转变换在做以3为周期的周期运动，其中${P}_{1}{P}_{2}=\sqrt{3}$，${P}_{2}{P}_{5}=3+\sqrt{3}$，
${P}_{5}{P}_{8}=3+\sqrt{3}$，而2012=670×3+2，
∴P₁P₂₀₁₄=$\sqrt{3}+670（3+\sqrt{3}）+3$
=2013+671$\sqrt{3}$，
故选B．

点评 该题主要考查了旋转变换的性质及其应用问题；解题的关键是能够发现△ABC每旋转三次以后，经历同样的旋转变换，相邻线段P₁P_n（n为大于1的自然数）之间存在等差关系．