Question

11．如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同的速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，进点Q作QM∥CD交BC于点M，连接MP（其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动）．设CP=x
（1）求AD的长；
（2）当x为何值时，△PDQ为直角三角形．
（3）四边形DQMP能否成为菱形？若能，请说明理由，并求出CP的长，若不能，也请说明理由．

Answer 1

分析 （1）如图过A作AE⊥CD，垂足为E．则DE=$\frac{1}{2}$（CD-AB）据此即可求得DE的长，然后在直角△ADE中，利用三角函数即可求解；
（2）分成∠PQD=90°，和∠QPD=90°两种情况进行讨论，当∠PQD=90°，有PD=2DQ，当∠DPQ=90°，有DQ=2PD，据此即可列方程求解，进行判断；
（3）易证四边形MCDQ是等腰梯形，则△CPM恰为等边三角形，四边形PDQM是平行四边形，则当PD=DQ时□PDQM是菱形，根据PD=DQ即可列方程求得CP的长．

解答 解：（1）如图过A作AE⊥CD，垂足为E．
依题意，DE=9$\frac{9-4}{2}$=$\frac{5}{2}$．
在Rt△ADE中，AD=$\frac{DE}{cos60°}$=$\frac{5}{2}$×2=5．

（2）∵∠D=60°．
当∠PQD=90°，有PD=2DQ，9-x=2x，x=3，
当∠DPQ=90°，有DQ=2PD，x=2（9-x），x=6＞5，不可能．
∴x=3时，△PDQ为直角三角形．

（3）四边形PDQM能成为菱形．
理由是：∵QM∥DC，∠C=∠D，
∴四边形MCDQ是等腰梯形，
∴MC=DQ=CP，
∴∠C=60°
∴△CPM恰为等边三角形 
∴∠1=∠D=60°
∴MP∥QD，
∵QM∥DC，
∴四边形PDQM是平行四边形．
当PD=DQ时，□PDQM是菱形．
此时，由 PD=DQ，得9-x=x，x=$\frac{9}{2}$．

点评 本题是等腰梯形以及等边三角形以及菱形的判定的综合应用，正确确定四边形PDQM是菱形的条件是关键．