Question

3．如图，△ABC内接于⊙O，MA是⊙O的切线，切点为A，MA∥BC，直线MB过⊙O的圆心O．
（1）求证：AB=AC；
（2）若AB=5，BC=8，求sin2∠ACB的值．

Answer 1

分析 （1）连结OA，如图，根据切线的性质得OA⊥AM，而MA∥BC，则OA⊥BC，再根据垂径定理得到$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，然后根据圆心角、弧、弦的关系可得AB=AC；
（2）OA与BC相交于D，如图，根据垂径定理得到BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=4，则在Rt△ABD中可根据勾股定理计算出AD=3，设⊙O的半径为r，则OB=r，OD=r-3，在Rt△OBD中由勾股定理得到4²+（r-3）²=r²，解得r=$\frac{25}{6}$，在Rt△OBD中，利用正弦定义得sin∠BOD=$\frac{24}{25}$，然后根据圆周角定理得到∠BOD=2∠ACB，于是得到sin2∠ACB=$\frac{24}{25}$．

解答 （1）证明：连结OA，如图，
∵MA是⊙O的切线，
∴OA⊥AM，
∵MA∥BC，
∴OA⊥BC，
∴$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴AB=AC；
（2）解：OA与BC相交于D，如图，
∵OA⊥BC，
∴BD=CD=$\frac{1}{2}$BC=4，
在Rt△ABD中，∵AB=5，BD=4，
∴AD=$\sqrt{{5}^{2}-{4}^{2}}$=3，
设⊙O的半径为r，则OB=r，OD=r-3，
在Rt△OBD中，∵BD²+OD²=OB²，
∴4²+（r-3）²=r²，解得r=$\frac{25}{6}$，
解OB=$\frac{25}{6}$，
在Rt△OBD中，sin∠BOD=$\frac{BD}{OB}$=$\frac{4}{\frac{25}{6}}$=$\frac{24}{25}$，
∵∠ACB=$\frac{1}{2}$∠AOB，
∴∠BOD=2∠ACB，
∴sin2∠ACB=$\frac{24}{25}$．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了垂径定理和圆周角定理．