Question

1．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D、E分别是AB、AC的中点，点F是DE上一点，∠CBF=∠CAF，作FG⊥BC于点G，求证：
（1）AF=FC；
（2）DE=DG．

Answer 1

分析 （1）根据三角形的中位线定理得到ED∥CB，由平行线的性质得到∠AED=90°然后通过三角形全等即可得到结论；
（2）由于∠AEF=∠CBF，∠AEF=∠FGB，证得△AEF∽△BGF，于是得到EF：FG=AE：BG，等量代换得到EF：FG=FG：（BC-EF）=＞FG²=BC•EF-EF²，由于 DF=DE-EF，DE=$\frac{1}{2}$BC，于是得到DF²=（$\frac{1}{2}$BC-EF）²=$\frac{1}{4}$BC²-BC•EF+EF²，通过化简DG²=FG²+DF²=BC•EF-EF²+$\frac{1}{4}$BC²-BC•EF+EF²=$\frac{1}{4}$BC²，得到DG=$\frac{1}{2}$BC，就可得到DG=DE．

解答 证明：（1）∵D、E分别是AB、AC的中点，
∴AE：EC=AD：DB=1，
∴ED∥CB，
∵∠ACB=90°，
∴∠AED=90°，∴∠DEC=∠AED=90°，
又∵AE=EC，EF=EF，
在△FAE与△FCE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=CE}\\{∠AEF=∠CEF}\\{EF=EF}\end{array}\right.$，
∴△FAE≌△FCE，
∴AF=CF

（2）∵∠AEF=∠CBF，∠AEF=∠FGB，
∴△AEF∽△BGF，
∴EF：FG=AE：BG，
∵FG=EC=AE，BG=BC-CG=BC-EF，
∴EF：FG=FG：（BC-EF）=＞FG²=BC•EF-EF²，
∵DF=DE-EF，DE=$\frac{1}{2}$BC，
∴DF²=（$\frac{1}{2}$BC-EF）²=$\frac{1}{4}$BC²-BC•EF+EF²，
∴DG²=FG²+DF²=BC•EF-EF²+$\frac{1}{4}$BC²-BC•EF+EF²=$\frac{1}{4}$BC²，
∴DG=$\frac{1}{2}$BC，
∴DG=DE．

点评 本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，证得△AEF∽△BGF是解题的关键．