Question

【题目】已知x1 ， x2是方程x2﹣（k﹣2）x+k2+3k+5=0的实数根（x1 ， x2可相等）
（1）证明方程的两根都小于0；
（2）当实数k取何值时x12+x22最大？并求出最大值．

Answer 1

【答案】（1）证明：∵△=（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0，
∴﹣4≤k≤﹣，
∵x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，
∴x1+x2=k﹣2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，
∴方程的两根都小于0；
（2）解：x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣k2﹣10k﹣6=﹣（k+5）2+19，
∵﹣4≤k≤﹣，
∴k=﹣4时，x12+x22有最大值，最大值为﹣（﹣4+5）2+19=18．
【解析】（1）根据判别式的意义得到△=（k﹣2）2﹣4（k2+3k+5）≥0，解此不等式得到﹣4≤k≤﹣ ， 再由根与系数的关系得x1+x2=k﹣2，x1x2=k2+3k+5，利用k的取值范围有x1+x2=k﹣2＜0，x1x2=k2+3k+5＞0，于是利用有理数的性质即可判断方程的两根都小于0；
（2）利用完全平方公式得到x12+x22=（x1+x2）2﹣2x1x2=（k﹣2）2﹣2（k2+3k+5）=﹣（k+5）2+19，然后根据二次函数的最值问题求解．
【考点精析】本题主要考查了求根公式和根与系数的关系的相关知识点，需要掌握根的判别式△=b2-4ac，这里可以分为3种情况：1、当△>0时，一元二次方程有2个不相等的实数根2、当△=0时，一元二次方程有2个相同的实数根3、当△<0时，一元二次方程没有实数根；一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系数a、b、c而定；两根之和等于方程的一次项系数除以二次项系数所得的商的相反数；两根之积等于常数项除以二次项系数所得的商才能正确解答此题．