Question

已知关于x的一元二次方程kx²+2（k+1）x+k-1=0有实根，
（1）求k的范围；
（2）若等腰三角形ABC的一边长a=1，另外两条边b，c恰好是这个方程的两个根，求△ABC的周长．

Answer 1

分析：（1）根据关于x的一元二次方程有实数根可知△≥0，k≠0，求出k的取值范围即可；
（2）由于a为低或腰不能确定，故应分两种情况进行讨论，
①当a为腰时，b、c中必有一个为1，把x=1代入原方程可求出k的值，进而求出方程的另一根，再根据三角形的三边关系判断出a、b、c的值是否符合题意即可；
②当a为底时，b=c，即方程有两个相等的实数根，由△=0可求出k的值，再求出方程的两个根进行判断即可．

解答：解：（1）∵原方程有实数根
∴△=[2（k+1）²-4k（k-1）]≥0，
∴k≥-

1

3

，
∵原方程是一元二次方程，
∴k≠0，
∴k的取值范围是：k≥-

1

3

且k≠0；

（2）①当b或c有一个是1时，将x=1代入原方程得k=-

1

4

，（4分）
将k=-

1

4

代入原方程并化为一般式x²-6x+5=0，
解得方程另一根为5而1，1，5构不成三角形，故舍去；（5分）

②当b，c为腰时，即△=0，此时k=-

1

3

（6分）
∴原方程可化为：-

1

3

x²+

4

3

x-

4

3

=0，
解得x₁=x₂=2，（7分）
∴△ABC的周长为5．（8分）

点评：本题考查的是一元二次方程根的判别式及三角形的三边关系，在解答（2）时要注意分类讨论，不要漏解．