【题目】如图,抛物线交x轴于A,B两点,交y轴于点C.直线经过点A,C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是抛物线上一动点,过点P作x轴的垂线,交直线AC于点M,设点P的横坐标为m.
①当是直角三角形时,求点P的坐标;
②作点B关于点C的对称点,则平面内存在直线l,使点M,B,到该直线的距离都相等.当点P在y轴右侧的抛物线上,且与点B不重合时,请直接写出直线的解析式.(k,b可用含m的式子表示)
【答案】(1)(2)①或,②直线l的解析式为,或.
【解析】
(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点A,C的坐标,根据点A,C的坐标,利用待定系数法可求出二次函数解析式;
(2)①由PM⊥x轴可得出∠PMC≠90°,分∠MPC=90°及∠PCM=90°两种情况考虑:(i)当∠MPC=90°时,PC∥x轴,利用二次函数图象上点的坐标特征可求出点P的坐标;(ii)当∠PCM=90°时,设PC与x轴交于点D,易证△AOC∽△COD,利用相似三角形的性质可求出点D的坐标,根据点C,D的坐标,利用待定系数法可求出直线PC的解析式,联立直线PC和抛物线的解析式成方程组,通过解方程组可求出点P的坐标.综上,此问得解;
②利用二次函数图象上点的坐标特征及一次函数图象上点的坐标特征可得出点B,M的坐标,结合点C的坐标可得出点B′的坐标,根据点M,B,B′的坐标,利用待定系数法可分别求出直线BM,B′M和BB′的解析式,利用平行线的性质可求出直线l的解析式.
解:(1)当时,,
点C的坐标为;
当时,,
解得:,
点A的坐标为.
将,代入,得:
,解得:,
抛物线的解析式为.
(2)①轴,
,
分两种情况考虑,如图1所示.
(i)当时,轴,
点P的纵坐标为﹣2.
当时,,
解得:,,
点P的坐标为;
(ii)当时,设PC与x轴交于点D.
,,
.
又,
,
,即,
,
点D的坐标为.
设直线PC的解析式为,
将,代入,得:
,解得:,
直线PC的解析式为.
联立直线PC和抛物线的解析式成方程组,得:,
解得:,,
点P的坐标为.
综上所述:当是直角三角形时,点P的坐标为或.
②当y=0时,,
解得:x1=-4,x2=2,
∴点B的坐标为(2,0).
∵点C的坐标为(0,-2),点B,B′关于点C对称,
∴点B′的坐标为(-2,-4).
∵点P的横坐标为m(m>0且m≠2),
∴点M的坐标为,
利用待定系数法可求出:直线BM的解析式为,直线B′M的解析式为,直线BB′的解析式为y=x-2.
分三种情况考虑,如图2所示:
当直线l∥BM且过点C时,直线l的解析式为,
当直线l∥B′M且过点C时,直线l的解析式为,
当直线l∥BB′且过线段CM的中点时,直线l的解析式为,
综上所述:直线l的解析式为,或.
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【题目】(4分)一元二次方程的根的情况是( )
A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根
C.没有实数根 D.无法确定
【答案】A.
【解析】
试题∵△=,∴方程有两个不相等的实数根.故选A.
考点:根的判别式.
【题型】单选题
【结束】
9
【题目】已知直线y=kx(k>0)与双曲线交于点A(x1,y1),B(x2,y2)两点,则x1y2+x2y1的值为【 】
A.﹣6 B.﹣9 C.0 D.9
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【题目】某校七年级6个班的180名学生即将参加北京市中学生开放性科学实践活动送课到校课程的学习.学习内容包括以下7个领域:A.自然与环境,B.健康与安全,C.结构与机械,D.电子与控制,E.数据与信息,F.能源与材料,G.人文与历史.为了解学生喜欢的课程领域,学生会开展了一次调查研究,请将下面的过程补全.
收集数据学生会计划调查30名学生喜欢的课程领域作为样本,下面抽样调查的对象选择合理的是 ;(填序号)
①选择七年级1班、2班各15名学生作为调查对象
②选择机器人社团的30名学生作为调查对象
③选择各班学号为6的倍数的30名学生作为调查对象
调查对象确定后,调查小组获得了30名学生喜欢的课程领域如下:
A,C,D,D,G,G,F,E,B,G,
C,C,G,D,B,A,G,F,F,A,
G,B,F,G,E,G,A,B,G,G
整理、描述数据整理、描述样本数据,绘制统计图表如下,请补全统计表和统计图.
某校七年级学生喜欢的课程领域统计表
课程领域 | 人数 |
A | 4 |
B | 4 |
C | 3 |
D | 3 |
E | 2 |
F | 4 |
G | 10 |
合计 | 30 |
分析数据、推断结论请你根据上述调查结果向学校推荐本次送课到校的课程领域,你的推荐是 (填A﹣G的字母代号),估计全年级大约有 名学生喜欢这个课程领域.
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【题目】如图,直线y=x与双曲线y=(k>0,x>0)交于点A,将直线y=x向上平移2个单位长度后,与y轴交于点C,与双曲线交于点B,若OA=3BC,则k的值为____.
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【题目】小泽和小帅两同学分别从甲地出发,骑自行车沿同一条路到乙地参加社会实践活动.如图折线和线段分别表示小泽和小帅离甲地的距离(单位:千米)与时间(单位:小时)之间函数关系的图象,则当小帅到达乙地时,小泽距乙地的距离为_________千米.
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【题目】2019年3月25日是全国中小学生安全教育日,前进中学为加强学生的安全意识,组全校学生参加安全知识竞赛,从中抽取了部分学生成绩(得分取正整数,满分为100分),各等级进行统计(级.分-分;级.分分;级.分分;级.分分;级.分分),并将统计结果绘制成如下两幅尚不完整的统计图,请你结合图中所给信息解答下列问题:
(1)_______.
(2)补全频数分布直方图;
(3)该校共有名学生.若成绩在分以下(含分)的学生安全意识不强,有待进.步加强安全教育,则该校安全意识不强的学生约有多少名?
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【题目】汽车产业的发展,有效促进我国现代化建设.某汽车销售公司2016年盈利1500万元,到2018年盈利2160万元,且从2016年到2018年,每年盈利的年增长率相同.
(1)求每年盈利的年增长率;
(2)若该公司盈利的年增长率继续保持不变,那么2019年该公司盈利能否达到2500万元?
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【题目】[阅读理解]
我们知道:,那么结果等于多少呢?
在图1所示的等边三角形数阵中,第行的一个小等边三角形中的数为,即第行的三个小等边三角形中的数的和是即; ..第行的个小等边三角形中的数的和是个,即,该等边三角形数阵中共有小等边三角形,所有小等边三角形数的和为.
[规律探究]
以图1中的等边三角形数阵的右底角顶点为旋转中心顺时针旋转再把旋转后的图形按同样的方法可得如图2所示的三角形数阵,观察这三个等边三角形数阵各行同一位置的小等边三角形中的数,发现位于奇数位置的三个数(如第行的第个小三角形中的数分别为的和为;发现位于偶数位置的三个数(如第行的第个小三角形中的数分别为的和为;而每个等边三角形数阵中,由于位于奇数位置的数比位于偶数位置的数多个,则位于偶数位置的数有_
个
因此,
[解决问题]根据以上发现,计算:
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【题目】如图,已知,M,N分别为锐角∠AOB的边OA,OB上的点,ON=6,把△OMN沿MN折叠,点O落在点C处,MC与OB交于点P,若MN=MP=5,则PN=( )
A.2B.3C.D.
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