Question

6．在△AEF中，∠E=90°，AD为∠EAF的平分线，过A、D的⊙O与AE、AF分别交于B、C，且BC∥EF
（1）求证：AC为⊙O的直径；
（2）求证：EF与⊙O的相切；
（3）若sin∠ADB=$\frac{3}{5}$，BE=1，求⊙O的半径．

Answer 1

分析 （1）根据平行线的性质，由BC∥EF得到∠ABC=∠E=90°，然后根据圆周角定理的推论即可得到AC为⊙O的直径；
（2）连结OD，如图，根据平行线的判定方法证明OD∥AE，从而得到∠ODF=∠E=90°，然后根据切线的判定定理可得EF与⊙O的相切；
（3）OD与BC交于H，易得四边形BEDH为矩形，则DH=BE=1，设⊙O的半径为r，则OC=r，OH=r-1，根据圆周角定理得到∠ACB=∠ADB，则sin∠ACB=sin∠ADB=$\frac{3}{5}$，然后在Rt△OHC中利用正弦的定义得到sin∠OCH=$\frac{OH}{OC}$=$\frac{3}{5}$，即$\frac{r-1}{r}$=$\frac{3}{5}$，再利用比例性质求r即可．

解答 （1）证明：∵BC∥EF，
∴∠ABC=∠E=90°，
∴AC为⊙O的直径；
（2）证明：连结OD，如图，
∵AD为∠EAF的平分线，
∴∠1=∠2，
∵OA=OD，
∴∠2=∠ODA，
∴∠1=∠ODA，
∴OD∥AE，
∴∠ODF=∠E=90°，
∴OD⊥EF，
∴EF与⊙O的相切；
（3）解：OD与BC交于H，易得四边形BEDH为矩形，则DH=BE=1，
设⊙O的半径为r，则OC=r，OH=OD-DH=r-1，
∵∠ACB=∠ADB，
∴sin∠ACB=sin∠ADB=$\frac{3}{5}$，
在Rt△OHC中，∵sin∠OCH=$\frac{OH}{OC}$=$\frac{3}{5}$，
∴$\frac{r-1}{r}$=$\frac{3}{5}$，解得r=$\frac{5}{2}$，
即⊙O的半径为$\frac{5}{2}$．

点评 本题考查了切线的判定：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．也考查了圆周角定理．