Question

如图，△ABC中，∠ACB=90°，把△ABC绕点C顺时针旋转到△A₁B₁C的位置，A₁B₁交直线CA于点D．若AC=6，BC=8，当线段CD的长为________时，△A₁CD是等腰三角形．

Answer 1

6或5或
分析：要使三角形是等腰三角形，可以有三种情况：
①当CD=A₁C=AC=6时，三角形是等腰三角形；
②当CD=A₁D时，根据等角的余角相等得∠B₁=∠B₁CD，则B₁D=CD，即CD=5时，三角形是等腰三角形；
③当A₁C=A₁D时，首先过点C作CE⊥A₁B₁于E，运用面积法求得A₁D上的高CE是4.8．然后在直角△A₁CE中由勾股定理求出A₁E的长度，从而求得DE的长度．最后在直角△CDE中，由勾股定理求出CD的长度．
解答：三角形是等腰三角形，有如下三种情况：
①当CD=A₁C=AC=6时，三角形是等腰三角形；
②当CD=A₁D时，
∵∠B=90°-∠BCB₁=∠ACB₁，∠B=∠B₁，
∴∠B₁=∠B₁CD，
∴B₁D=CD．
∵CD=A₁D，
∴CD=A₁B₁=5时，三角形是等腰三角形；
③当A₁C=A₁D时，如图．过点C作CE⊥A₁B₁于E．
∵△A₁B₁C的面积=×6×8=×10×CE，
∴CE=4.8．
在△A₁CE中，∠A₁EC=90°，由勾股定理知A₁E==3.6，
∴DE=6-3.6=2.4．
在△CDE中，∠CED=90°，由勾股定理知CD==．
故当线段CD的长为6或5或时，△A₁CD是等腰三角形．
点评：注意此题的多种情况，运用旋转的性质得到对应的线段相等，对应的角相等，再进行分析．