Question

9．已知a²-3a+1=0，求a²+$\frac{1}{{a}^{2}}$和a⁴+$\frac{1}{{a}^{4}}$的值．

Answer 1

分析 在原方程的两边同时除以a，得到a-$\frac{1}{a}$=-4．利用完全平方公式的变形得到${a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}$，利用完全平方公式的变形来求${a}^{4}+\frac{1}{{a}^{4}}$的值．

解答 解：a²-3a+1=0
在原方程的两边同时除以a，得：
a-3+$\frac{1}{a}$=0，
a+$\frac{1}{a}$=3，
$（a+\frac{1}{a}）^{2}={3}^{2}$
${a}^{2}+2+\frac{1}{{a}^{2}}=9$
${a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}$=7．
$（{a}^{2}+\frac{1}{{a}^{2}}）^{2}={7}^{2}$
${a}^{4}+2+\frac{1}{{a}^{4}}=49$
${a}^{4}+\frac{1}{{a}^{4}}=47$．

点评 本题既考查了对因式分解方法的掌握，又考查了代数式求值的方法，同时还隐含了整体的数学思想和正确运算的能力，解决本题的关键是熟记完全平分公式．